Правило вынесения из под корня
Правило вынесения из под корня
Глава II. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Урок 44. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня
Цель: рассмотреть и отработать вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.
II. Изучение нового материала (основные понятия)
Для сравнения числовых выражений, преобразования иррациональных выражений и т. д. необходимы навыки вынесения множителя из-под знака корня и внесения множителя под знак корня, основанные на использовании свойств квадратного корня. Рассмотрим эти приемы на примерах.
Сравним значение выражений 
Это можно сделать двумя способами.
1 способ (вынесение множителя из-под знака корня). Преобразуем первое иррациональное число √ 75. Представим число 75 в виде произведения двух множителей, один из которых является квадратом натурального числа: 75 = 25 · 3. Используем теорему о корне из произведения и получим: 
Теперь легко сравнить данные числа. Так как 
При решении число √ 75 было заменено произведением двух множителей 5 и √ 3, один из которых — целое число 5, а другое — иррациональное число √ 3. Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня.
2 способ (внесение множителя под знак корня). Теперь преобразуем второе иррациональное число 6 √ 3, представив его в виде арифметического квадратного корня. Для этого число 6 заменим выражением √ 36 и используем теорему о корне из произведения: 
Сравним данные числа. Так как 75 3, то а — 3 > 0 и |а — 3| = а — 3, данное выражение равно 
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV
§ 81. Вынесение множителя из-под знака корня и введение его под знак корня
Иногда подкоренное выражение разлагается на такие множители, корни из которых извлекаются довольно легко. В таких случаях выражение можно упростить посредством вынесения множителя из-под знака корня. Например,’
√ 12 = √ 4•3 = √ 4 • √ 3 =2√ 3 ;
4 √ 1250 = 4 √ 625•2 = 4 √ 5 4 •2 = 4 √ 5 4 • 4 √ 2 = 5 4 √ 2 .
Вынесение множителя за знак корня позволяет упростить и более сложные выражения. Так,
√ 18 + √ 50 —√ 98 = √ 9•2 + √ 25•2 — √ 49•2 = 3√ 2 + 5√ 2 — 7√ 2 = √ 2 ;
3 √ 81 — 3 √ 24 + 3 √ 375 = 3 √ 27•3 — 3 √ 8•3 + 3 √ 125•3 = 3 3 √ 3 —2 3 √ 3 + 5 3 √ 3 = 6 3 √ 3 :
Иногда оказывается полезным, наоборот, ввести какой-нибудь множитель под знак корня.
Пусть, например, нужно вычислить приближенное значение 7√ 8 с недостатком с точностью до 0,1. Введем 7 под знак корня. Для этого заметим, что 7 = √ 49 . Поэтому 7√ 8 = √ 49 • √ 8 = √ 49 • 8 = √ 392 . Извлекая корень из 392 обычным способом, получим следующее приближенное значение этого корня с недостатком с точностью до 0,1: √ 392 ≈19,7. Если бы мы не ввели 7 под знак корня, а вычислили бы приближенное значение √ 8 с точностью до 0,1 (√ 8 ≈ 2,8) и полученный результат умножили на 7, то получили бы 7√ 8 ≈ 19,6, то есть ошиблись на 0,1. Этот пример показывает, какую пользу может оказать введение множителя под знак корня.
Кроме того, введение множителя под знак корня приводит иногда к значительному упрощению выражения. Например,
568. Не извлекая корней, определить, какое из данных чисел больше:
а) 2√ 3 или 3√ 2 в) 5√ 7 или 8√ 3 ;
б) 2 3 √ 3 или 3 3 √ 2 ; г) 3 3 √ 4 или 3 3 √ 2 .
а) 2 √ 3 — √ 27 + 3√ 12 — 2√ 243
б) √ 50 — 5√ 8 + √ 2 + √ 128 ;
в) 3 √ 2 + 3 √ 250 — 3 √ 686 — 3 √ 16 .
571. Вычислить с точностью до 0,01:
б) 5√ 3 ; г) 2√ 7 + 5√ 3 + 1 /2√ 6
а) (2√ 3 — 3√ 2 + √ 6 ) • (√ 6 —√ 2 —2√ 3 );
б) (√ 8 — 3√ 2 + √ 10 ) • (√ 2 + √ 1,6 + 3√ 0,4 );
в) ( 3 √ 9 + 3 √ 6 + 3 √ 4 ) • ( 3 √ 3 — 3 √ 2 );
Как вынести множитель из-под знака корня: теория, примеры, решения
В данном материале мы продолжим рассказывать о том, как преобразовывать рациональные выражения, а конкретно о том, как правильно выносить множитель из-под знака корня. В первом пункте объясним, зачем нужно такое преобразование, далее покажем, как именно оно делается и сформулируем общее для всех случаев правило. Далее покажем, какие существуют методы, чтобы привести подкоренное выражение к удобному для преобразования виду, и разберем примеры решений задач.
Что такое вынесение множителя из-под знака корня
Чтобы лучше понять суть подобного преобразования, нужно сначала сформулировать, что такое вообще вынесение множителя из-под знака корня. Сформулируем определение:
Вынесение множителя из-под знака корня представляет собой замену выражения B n · C n на произведение B · C n с условием, что n – нечетное число, или же на произведение B · C – где n – четное число, а B и C – другие числа и выражения.
Если мы имеем в виду только квадратный корень, то есть число n равно двум, то процесс вынесения множителя можно свести к замене выражения B 2 · C на произведение B · C . Отсюда и название данного преобразования: после того, как оно было проведено, множитель B y оказывается свободным от знака корня.
Приведем примеры, поясняющие данное определение. Так, допустим, у нас есть выражение 2 2 · 3 . Оно аналогично B 2 · C , где B равно двум, а C – трем. Заменив данный корень на произведение 2 · 3 и опустив знаки модулей (это можно сделать, поскольку оба множителя являются положительными числами), мы получим 2 · 3 . Мы вынесли множитель 2 2 из-под знака корня.
Приведем еще один пример подобного преобразования. У нас есть выражение ( x 2 — 3 · x · y · z ) 2 · x = x 2 — 3 · x · y · z · x . Здесь из-под корня был вынесен не просто числовой множитель, а целое выражение с переменными ( x 2 − 3 · x · y · z ) 2 .
Оба примера относятся к случаю вынесения множителя из-под квадратного корня. Можно также производить данные преобразования и для корней n -ной степени. Вот пример с кубическим корнем: ( 3 · a 2 ) 3 · 2 · a 2 3 = 3 · a 2 · 2 · a 2 3
Пример с корнем шестой степени: 1 2 · x 2 + y 2 6 · 5 · ( x 2 + y 2 ) 6 можно преобразовать в произведение 1 2 · x 2 + y 2 · 5 · ( x 2 · y 2 ) 6 , которое, в свою очередь, упрощается до 1 2 · ( x 2 + y 2 ) · 5 · ( x 2 + y 2 ) 6 . В данном случае мы выносим множитель 1 2 · x 2 + y 2 6 .
Мы выяснили, что такое вынесение множителя из-под знака корня. Теперь перейдем к доказательствам, т.е. поясним, почему произведение, полученное в итоге данного преобразования, равнозначно исходному выражению.
Почему возможно заменить корень на произведение
В этом пункте мы будем разбираться, как возможна такая замена и почему корень B n · C n равнозначен произведениям B · C n и B · C n . Обратимся к ранее изученным теоретическим положениям.
Когда мы разбирали преобразование иррациональных выражений, у нас получились некоторые важные результаты, которые мы собрали в таблицу. Здесь нам будут нужны только два из них:
1. Выражение A · B n при условии нечетности n может быть заменено на A n · B n , а для четных n – A n · B n .
2. Выражение A n n при нечетном значении n может быть преобразовано в A , а при четном – в | A | .
Используя эти результаты и зная основные свойства модуля, мы можем вывести следующее:
- при четном n : B n · C n = B n n · C n = B · C n ;
- при нечетном n : B n · C n = B n n · C n = B n n · C n = B · C n .
- B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n = B 1 · B 2 · . . . · B k · C n для нечетного n ;
- B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n = B 1 · B 2 · . . . · B k · C n для четного n .
- Показатель корня равен 2 . Берем правило вынесения множителя для четного показателя и вычисляем: 2 2 · 7 = 2 · 7 = 2 · 7
- Во втором выражении показатель тоже четный, значит, — 1 2 3 2 · 5 = — 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5
В этом случае мы можем сначала преобразовать выражения, исходя из основных свойств корня:
— 1 2 3 2 · 5 = — 1 2 · 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 2 · 5
А потом уже выносить множитель: 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5 . - Последнее выражение имеет нечетный показатель, поэтому нам понадобится другое правило: ( — 0 , 4 ) 7 · 11 7 = — 0 , 4 · 11 7 .
Возможен и такой вариант расчета:
— 0 , 4 7 · 11 7 = ( — 1 ) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = — 0 , 4 7 · 11 7 = — 0 , 4 7 · 11 7 = — 0 , 4 · 11 7
Или такой:
— 0 , 4 7 · 11 7 = ( — 1 ) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = — 0 , 4 7 · 11 7 = 0 , 4 7 · — 11 7 = 0 , 4 · — 11 7 = — 0 , 4 · 11 7 - Выполняем разложение 45 на простые множители.
- Теперь представим в нужном виде число 135 и получим: 135 = 3 · 3 · 3 · 5 = 3 3 · 15 . Иначе можно записать, что 3 2 · 3 · 5 = 3 2 · 15 . Следовательно, 135 = 3 2 · 15 . Мы видим, что вынесению из-под знака корня подлежит множитель 3 2 :
- Разложим на простые множители число 3456 :
- Представим натуральное число 102 как произведение простых множителей и получим 2 · 3 · 17 . Видим, что все множители имеют показатель, равный единице, а показатель корня в этом примере равен двум. Следовательно, в данном примере ни один множитель не нужно выносить из-под знака корня, то есть такое действие для 102 нецелесообразно.
- Выполняем преобразование в первом примере.
- ( x — 5 ) 6 4 = ( x — 5 ) 4 · x — 5 2 4 = = x — 5 · ( x — 5 ) 2 4 = x — 5 · x — 5 2 4
- Строго говоря, корней с чётным показателем $n$ у каждого положительного числа будет сразу две штуки;
- Из отрицательных чисел корень с чётным $n$ вообще не извлекается.
- Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и вниз. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Следовательно, кубический корень можно извлечь всегда, абсолютно из любого числа;
- Кроме того, такое пересечение всегда будет единственным, поэтому не нужно думать, какое число считать «правильным» корнем, а на какое — забить. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной (отсутствует требование неотрицательности).
- Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён.
- А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: для положительных чисел он положителен, а для отрицательных — как намекает кэп, отрицательный.
- Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти;
- И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Т.е. никакого «сокращения» корней и степеней не происходит — это последовательные действия.
- Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
- Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
- Наконец, множество может включать два числа — те самые $<
_<1>>$ и $< _<2>>=-< _<1>>$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.
Эти выражения лежат в основе преобразований, которые мы проводим, вынося множитель из-под знака корня.
Следовательно, можно вывести две формулы:
Здесь B 1 , B 2 , и др. могут быть как числами, так и выражениями.
С помощью данных формул можно выполнить вынесение из-под корня сразу нескольких множителей.
Основное правило вынесения множителя из-под корня
Когда нам нужно решать примеры с подобными преобразованиями, чаще всего приходится предварительно приводить подкоренное выражение к виду B n · C . С учетом этого момента мы можем записать следующие правила.
Для вынесения множителя из-под корня в выражении A n нужно предварительно привести корень к виду B n · C n и после этого перейти к произведению B · C n (при нечетном показателе) или к B · C n (при четном показателе, при необходимости раскрываем модули).
Таким образом, схема решения подобных задач выглядит следующим образом:
A n → B n · C n → B · C n , е с л и n — н е ч е т н о е B · C n , е с л и n — ч е т н о е
Если нам надо вынести несколько множителей, то действуем так:
A n → B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n → B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n — н е ч е т н о е B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n — ч е т н о е
Теперь можно переходить к решению задач.
Задачи на вынесение множителя из-под знака корня
Условие: выполните вынесение множителя за знак корня в трех выражениях: 2 2 · 7 , — 1 2 3 2 · 5 , ( — 0 , 4 ) 7 · 11 7 .
Мы видим, что подкоренные выражения во всех трех случаях уже имеют нужный нам вид. Поскольку в первых двух примерах показателем корня является четное число, а в третьем – нечетное, записываем следующее:
Ответ: 1 ) 2 · 7 ; 2 ) 1 2 3 · 5 ; 3 ) — 0 , 4 · 11 7 .
Условие: преобразуйте выражение ( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 .
Решение:
При помощи схемы, приведенной во втором пункте статьи, мы можем вынести из-под корня сразу три множителя.
( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = = — 2 · 0 , 3 · 7 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4
Можно сделать преобразование в несколько шагов, вынося множителя по одному, но так будет гораздо дольше.
Есть и другой способ. Преобразуем само выражение, приведя его к виду B n · C . После этого уже будем выносить множители:
( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = = ( — 2 · 0 , 3 · 7 ) 4 · 11 4 = ( — 4 , 2 ) 4 · 11 4 = = — 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4
Ответ: ( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = — 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4 .
Разберем более подробно тот случай, когда подкоренное выражение требует предварительного преобразования. Здесь есть несколько моментов, которые нужно дополнительно пояснить.
Предварительное преобразование подкоренного выражения
Мы уже отмечали, что выражение под корнем не всегда имеет удобный для нас вид. Часто корень дан как A n , и множитель, который нужно вынести, не представлен в явном виде. Иногда это обозначено в условии, но довольно часто множитель приходится определять самостоятельно. Посмотрим, как надо действовать в этих случаях.
Допустим, нам надо вынести заранее определенный множитель B . Естественно, подкоренное выражение должно быть таким, чтобы эта операция была возможна. Тогда для преобразования A n в B n · C n достаточно определить второй множитель, т.е. вычислить значение C из выражения A = B n · C .
Условие: есть выражение 24 · x 3 . Вынесите из-под знака корня множитель 2 3 .
Решение
Здесь мы имеем n = 3 , A = 24 · x , B 3 = 2 3 . Тогда из A = B n · С вычисляем C = A : ( B n ) = 24 · x : ( 2 3 ) = 3 · x .
Значит, 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 . Подкоренное выражение имеет нужный нам вид, и мы можем воспользоваться правилом для нечетного показателя и подсчитать: 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .
Ответ: 24 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .
А как быть в случае, если множитель, который нужно вынести, не указан? Тогда у нас есть определенная свобода выбора, и мы можем использовать несколько подходов к решению задачи.
Допустим, нам дано выражение, под корнем у которого стоит степень или произведение нескольких степеней. В таком случае, зная основные свойства степени, мы можем преобразовать выражение в удобный для нас вид с очевидно указанными множителями для вынесения.
Условие: необходимо вынести множитель из-под корня в трех выражениях – 2 4 · 5 4 , 2 7 · 5 4 , 2 22 · 5 4 .
Решение
Преобразование первого выражения не представляет особой сложности, т.к. подобные примеры мы уже разбирали. Сразу вычисляем: 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 = 2 · 5 4 .
Во втором примере легко догадаться, как преобразовать подкоренное выражение: нужно просто представить 2 7 как 2 4 · 2 3 .
2 7 · 5 4 = 2 4 · 2 3 · 5 4 = 2 4 · 40 4 = 2 · 40 4 = 2 · 40 4
В последнем примере также нужно начать с преобразования подкоренного выражения. Сразу отметим, что итоговый вид будет таким:
2 5 4 · 2 2 · 5 4
Теперь покажем, как именно прийти к этому виду. Сначала выполняем деление 22 на 4 , получаем 5 с остатком 2 (если нужно, повторите, как правильно выполнять деление с остатком). Иначе говоря, 22 можно рассматривать как 4 · 5 + 2 . Используя свойства степени, можем записать:
2 22 + 2 5 · 4 + 2 = 2 5 · 4 · 2 2 = ( 2 5 ) 4 · 2 2
2 22 · 5 4 = ( 2 5 ) 4 · 2 2 · 5 4 = ( 2 5 ) 4 · 20 4 = = 2 5 · 20 4 = 32 · 20 4
Ответ: 1 ) 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 , 2 ) 2 7 · 5 4 = 2 · 40 4 , 3 ) 2 22 · 5 4 = 32 · 20 4 .
Если выражение под корнем не является степенью или произведением степеней, надо попробовать представить его в таком виде. Чаще всего встречаются следующие случаи.
Подкоренное выражение – натуральное составное число. Тогда мы сразу можем увидеть нужные множители, которые надо вынести из-под знака корня, предварительно разложив данное число на простые множители.
Условие: выполните вынесение множителя из-под знака корня в следующих выражениях: 1 ) 45 ; 2 ) 135 ; 3 ) 3456 ; 4 ) 102 .
45 15 5 1 3 3 5
То есть 45 = 3 · 3 · 5 = 3 2 · 5 , а 45 = 3 2 · 5 . В этом выражении видно, что выносить мы будем множитель 3 2 . Вычисляем:
3 2 · 5 = 3 · 5 = 3 · 5
3 2 · 15 = 3 · 15 = 3 · 15
3456 1728 864 432 216 108 54 27 9 3 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
У нас получилось, что 3456 = 2 7 · 3 3 , а 3456 = 2 7 · 3 3 . Поскольку 2 7 = 2 3 · 2 + 1 = ( 2 3 ) 2 · 2 и 3 3 = 3 2 · 3 , то 2 7 · 3 3 = ( 2 3 ) 2 · 2 · 3 2 · 3 = ( 2 3 ) 2 · 3 2 · 6 = = 2 3 · 3 · 6 = 24 · 6
Ответ: 1 ) 45 = 3 · 5 ; 2 ) 135 = 3 · 15 ; 3 ) 3456 = 24 · 6 ; 4 ) 102 .
Теперь разберем, как решать примеры, у которых подкоренное выражение представлено в виде обыкновенной дроби. В этом случае следует числитель и знаменатель разложить на простые множители и посмотреть, можно ли вынести какие-то из них за знак корня. Если у нас есть десятичная дробь или смешанное число, предварительно заменяем их обыкновенными дробями, после чего переходим от корня отношения к отношению корней.
Условие: выполните вынесение множителя за корень в выражении 200 · 0 , 000189 · x 3 и упростите его.
Для начала перейдем от десятичной дроби к обыкновенной и разложим ее числитель и знаменатель на простые множители.
0 , 189 = 189 1000000 = 3 3 · 7 2 6 · 5 6
Используя свойства степени, перепишем выражение в следующем виде:
3 2 2 · 5 2 3 · 7
Подставим получившееся выражение в исходное и получим:
200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 3 · 7 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 · 7 · x 3 = 6 · 7 · x 3
К такому же ответу можно прийти и с помощью других преобразований:
200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 189 1000000 · x 3 = 200 · 189 1000000 3 · x 3 = = 200 · 189 3 1000000 3 · x 3 = 200 · 3 3 · 7 3 100 3 3 · x 3 = = 200 · 3 · 7 3 100 · x 3 = 6 · 7 3 · x 3 = 6 · 7 · x 3
Ответ: 200 · 0 , 000189 · x 3 = 6 · 7 · x 3 .
Иными словами, для обнаружения множителя, который можно вынести за знак корня, можно преобразовывать подкоренное выражение любыми допустимыми способами.
Условие: выполните упрощение иррационального выражения 2 · ( 3 + 2 · 2 ) .
Мы можем преобразовать выражение в скобках как 2 + 2 · 2 + 1 и далее как 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 2 .
То, что у нас получилось, можно свернуть в квадрат суммы с помощью формулы сокращенного умножения: 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 = 2 + 1 2 .
В итоге: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 · 2 + 1 2 . Теперь выносим 2 + 1 2 за знак корня и упрощаем выражение:
2 · 2 + 1 2 = 2 · 2 + 1 = = 2 · 2 + 1 = 2 + 2
Ответ: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 + 2 .
Теперь посмотрим, как вынести из-под знака корня выражение, содержащее переменные. В целом можно сказать, что для этого используются те же методы, что и при работе с числами.
Условие: вынесите множитель из-под знака корня в выражениях ( x — 5 ) 5 4 и ( x — 5 ) 6 4 .
( x — 5 ) 5 4 = ( x — 5 ) 4 · x — 5 4 = x — 5 · x — 5 4
Знак модуля можно опустить. Посмотрим, каким условием определяется область допустимых значений переменной для исходного выражения. Таким условием будет неравенство ( x − 5 ) 5 ≥ 0 . Для его решения выбираем метод интервалов и получаем x ≥ 5 . Если значение x принадлежит области допустимых значений, то значением выражения x — 5 будет неотрицательное число. Значит, можем записать следующее:
x — 5 · x — 5 4 = x — 5 · x — 5 4
Выполним сокращение показателей корня и степени на два. Обратимся к таблице результатов из статьи о преобразовании иррациональных выражений, о которой мы говорили выше. Возьмем из нее следующий результат: выражение A m n · m можно заменить на A n при условии, что m и n – натуральные числа. Следовательно,
x — 5 · x — 5 2 4 = x — 5 · x — 5
Нужно ли здесь убирать знак модуля? Посмотрим на область допустимых значений данного выражения: ее составляют все действительные числа, поскольку ( x − 5 ) 6 ≥ 0 для любого x . При этом значения x − 5 могут быть больше 0 , если x > 5 , равными 0 или отрицательными. Значит, оставляем выражение в виде x — 5 · x — 5 или представляем его в виде системы уравнений
( x — 5 ) · x — 5 , x ≥ 5 ( 5 — x ) · 5 — x , x 5
Ответ: 1 ) ( x — 5 ) 5 4 = ( x — 5 ) · x — 5 4 ; 2 ) ( x — 5 ) 6 4 = x — 5 · x — 5 .
Условие: выполните упрощение выражения x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 .
Выносим за скобки x 3 и получаем x 3 · ( x 2 + 2 · x · y + y 2 ) . Выражение в скобках можно представить в виде квадрата суммы: x 3 · ( x 2 + 2 · x · y + y 2 ) = x 3 · ( x + y ) 2 .
Теперь видим множители, подлежащие вынесению из-под корня: x 3 · ( x + y ) 2 = x 2 · x · ( x + y ) 2 = x · x + y · x
Также мы можем убрать знаки модуля, в которых находится x, поскольку область допустимых значений будет определена условием x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 ≥ 0 . Оно равносильно x 3 · ( x + y ) 2 ≥ 0 , а из него можно сделать вывод, что x ≥ 0 . У нас получилось, что x · x + y · x .
Ответ: x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 = x · x + y · x .
Это все, что мы хотели бы вам рассказать о вынесении множителя за знак корня. В следующей статье мы разберем обратное действие – внесение множителя под корень.
Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы познакомимся с одной из важнейших операций при работе с корнями – вынесение множителя из-под знака корня. Кроме того, мы научимся извлекать корень из квадрата положительных и отрицательных чисел. На этом уроке мы сформулируем и докажем свойства квадратных корней, связанных с вынесением множителя из-под знака корня, а также разберём ряд примеров на эти свойства.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»
Тема: Функция 
. Свойства квадратного корня
Урок: Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)
1. Повторение определения и свойств квадратного корня
Напомним определение квадратного корня:
квадратным корнем из неотрицательного числа 
называется такое число неотрицательное число 
, квадрат которого равен : 
.
Из определения квадратного корня сразу следует следующее тождество:
.
Рассмотрим несколько примеров на вычисление корней: 
, т. к. 
; 
, т. к. 
; 
, т. к. 
; 
.
Напомним также основные свойства квадратного корня:
1. 
(
). Если и – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.
2. 
(
). Если – неотрицательное число, а – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.
3. 
(
).
Примеры:
1. 
.
2. 
.
2. Свойство корня – вынесение множителя из-под знака корня
Докажем теперь ещё одно не менее важное свойство квадратного корня:
, т. е.: 
.
Доказательство:
Напомним вначале определение модуля: 
. Примеры: 
, 
, 
.
Рассмотрим два случая:
1. 
, т. к. 
– можно пользоваться определением корня квадратного из неотрицательного числа.
2. 
. В этом случае: 
. Тогда для числа 
можем воспользоваться результатами первого случая: 
.
Естественным обобщением данного свойства является формула:
.
3. Примеры решения задач на вынесение множителя из-под знака корня
Рассмотрим типовые задачи на применение указанного свойства.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
Необходимо понимать, что во всех рассмотренных примерах значение корней всегда получается неотрицательным (несмотря на наличие перед некоторыми ответами знака 
. К примеру, в примере 4 ответ положительный, так как знак выражения 
, а перед самим выражением стоит ещё один . Как известно, минус на минус даёт плюс.
Решим ещё несколько примеров, в которых фигурируют уже несколько переменных:
5. 
( 
– по условию, 
– всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).
6. 
( – по условию, – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).
7. 
( 
– по условию, 
– так как 
).
8. 
( 
– по условию, – так как ).
Итак, мы рассмотрели вынесение множителя из-под знака корня. Мы научились выносить множитель из-под корня с учётом его знака, а также решили несколько примеров.
На следующем уроке мы научимся вносить множитель под знак квадратного корня.
Список литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
3. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов (Источник).
Домашнее задание
1. №336-338 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Упростить выражение: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
3. Упростить выражение: а) 
, б) 
, в) 
.
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта. 
Корень степени n: основные определения
Поздравляю: сегодня мы будем разбирать корни — одну из самых мозговыносящих тем 8-го класса.:)
У вас тоже так? Читайте дальше — и всё поймёте
Многие путаются в корнях не потому, что они сложные (чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств), а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Да и то лишь с бутылкой хорошего виски.:)
Поэтому сейчас я дам самое правильное и самое грамотное определение корня — единственное, которое вам действительно следует запомнить. А уже затем объясню: зачем всё это нужно и как это применять на практике.
Но сначала запомните один важный момент, про который многие составители учебников почему-то «забывают»:
Вот в этом грёбаном «несколько отличается» скрыто, наверное, 95% всех ошибок и недопонимания, связанного с корнями. Поэтому давайте раз и навсегда разберёмся с терминологией:
Определение. Корень чётной степени n из числа $a$ — это любое неотрицательное число $b$ такое, что $<^
В любом случае корень обозначается вот так:
Число $n$ в такой записи называется показателем корня , а число $a$ — подкоренным выражением . В частности, при $n=2$ получим наш «любимый» квадратный корень (кстати, это корень чётной степени), а при $n=3$ — кубический (степень нечётная), который тоже часто встречается в задачах и уравнениях.
Примеры. Классические примеры квадратных корней:
Кстати, $\sqrt<0>=0$, а $\sqrt<1>=1$. Это вполне логично, поскольку $<<0>^<2>>=0$ и $<<1>^<2>>=1$.
Кубические корни тоже часто встречаются — не надо их бояться:
Ну, и парочка «экзотических примеров»:
Если вы не поняли, в чём разница между чётной и нечётной степенью — перечитайте определение ещё раз. Это очень важно!
А мы тем временем рассмотрим одну неприятную особенность корней, из-за которой нам и потребовалось вводить раздельное определение для чётных и нечётных показателей.
Зачем вообще нужны корни?
Прочитав определение, многие ученики спросят: «Что курили математики, когда это придумывали?» И вправду: зачем вообще нужны все эти корни?
Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на минутку в начальные классы. Вспомните: в те далёкие времена, когда деревья были зеленее, а пельмени вкуснее, основная наша забота была в том, чтобы правильно умножать числа. Ну, что-нибудь в духе «пять на пять — двадцать пять», вот это вот всё. Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами:
Ну и так далее. Ладно, ладно: последние две строчки я считал на калькуляторе.:)
Однако суть не в этом. Фишка в другом: математики — людишки ленивые, поэтому им было в лом записывать умножение десяти пятёрок вот так:
\[5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625\]
Поэтому они придумали степени. Почему бы вместо длинной строки не записать количество множителей в виде верхнего индекса? Типа вот такого:
\[5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=<<5>^<6>>=15\ 625\]
Это же очень удобно! Все вычисления сокращаются в разы, и можно не тратить кучу листов пергамента блокнотиков на запись какого-нибудь 5 183 . Такую запись назвали степенью числа, у неё нашли кучу свойств, но счастье оказалось недолгим.
После грандиозной пьянки, которую организовали как раз по поводу «открытия» степеней, какой-то особо упоротый математик вдруг спросил: «А что, если нам известна степень числа, но неизвестно само число?» Вот, действительно, если нам известно, что некое число $b$, допустим, в 5-й степени даёт 243, то как нам догадаться, чему равно само число $b$?
Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд. Потому что выяснилось, что для большинства «готовых» степеней таких «исходных» чисел нет. Судите сами:
А, что если $<^<3>>=50$? Получается, что нужно найти некое число, которое будучи трижды умноженное само на себя даст нам 50. Но что это за число? Оно явно больше 3, поскольку 3 3 = 27 3 = 64 > 50. Т.е. это число лежит где-то между тройкой и четвёркой, но чему оно равно — фиг поймёшь.
Именно для этого математики и придумали корни $n$-й степени. Именно для этого ввели значок радикала $\sqrt<*>$. Чтобы обозначить то самое число $b$, которое в указанной степени даст нам заранее известную величину
Не спорю: зачастую эти корни легко считаются — мы видели несколько таких примеров выше. Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом.
Да что там! Даже самый простой и всем знакомый $\sqrt<2>$ нельзя представить в привычном нам виде — как целое число или дробушка. А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это:
Как видите, после запятой идёт бесконечная последовательность цифр, которые не подчиняются никакой логике. Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Например:
\[\sqrt<2>=1,4142. \approx 1,4 \lt 1,5\]
Или вот ещё пример:
\[\sqrt<3>=1,73205. \approx 1,7 \gt 1,5\]
Но все эти округления, во-первых, довольно грубые; а во-вторых, работать с примерными значениями тоже надо уметь, иначе можно словить кучу неочевидных ошибок (кстати, навык сравнения и округления в обязательном порядке проверяют на профильном ЕГЭ).
Поэтому в серьёзной математике без корней не обойтись — они являются такими же равноправными представителями множества всех действительных чисел $\mathbb
Невозможность представить корень в виде дроби вида $\frac
$ означает, что данный корень не является рациональным числом. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций (логарифмов, степеней, пределов и т.д.). Но об этом — в другой раз.
Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе.
Естественно, по внешнему виду корня практически невозможно догадаться о том, какие числа будут идти после запятой. Впрочем, можно, посчитать на калькуляторе, но даже самый совершенный калькулятор дат нам лишь несколько первых цифр иррационального числа. Поэтому гораздо правильнее записать ответы в виде $\sqrt<5>$ и $\sqrt[3]<-2>$.
Именно для этого их и придумали. Чтобы удобно записывать ответы.
Почему нужны два определения?
Внимательный читатель уже наверняка заметил, что все квадратные корни, приведённые в примерах, извлекаются из положительных чисел. Ну, в крайнем случае из нуля. А вот кубические корни невозмутимо извлекаются абсолютно из любого числа — хоть положительного, хоть отрицательного.
Почему так происходит? Взгляните на график функции $y=<
График квадратичной функции даёт два корня: положительный и отрицательный
Попробуем с помощью этого графика посчитать $\sqrt<4>$. Для этого на графике проведена горизонтальная линия $y=4$ (отмечена красным цветом), которая пересекается с параболой в двух точках:$<
С первым числом всё понятно — оно положительное, поэтому оно и есть корень:
Но что тогда делать со второй точкой? Типа у четвёрки сразу два корня? Ведь если возвести в квадрат число −2, мы тоже получим 4. Почему бы тогда не записать$\sqrt<4>=-2$? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?:)
В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный. И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y, т.е. не принимает отрицательных значений.
Подобная проблема возникает у всех корней с чётным показателем:
Именно поэтому в определении корня чётной степени $n$ специально оговаривается, что ответ должен быть неотрицательным числом. Так мы избавляемся от неоднозначности.
Зато для нечётных $n$ такой проблемы нет. Чтобы убедиться в этом, давайте взглянем на график функции $y=<
Кубическая парабола принимает любые значения, поэтому кубический корень извлекается из любого числа
Из этого графика можно сделать два вывода:
Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами.
Да, я не спорю: что такое арифметический корень — тоже надо знать. И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Сегодня мы тоже поговорим о нём, поскольку без него все размышления о корнях $n$-й кратности были бы неполными.
Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.
А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях:
Разве это сложно? Нет, не сложно. Понятно? Да вообще очевидно! Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.
Основные свойства и ограничения
У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Поэтому сейчас мы рассмотрим лишь самую важную «фишку», которая относится лишь к корням с чётным показателем. Запишем это свойство в виде формулы:
Другими словами, если возвести число в чётную степень, а затем из этого извлечь корень той же степени, мы получим не исходное число, а его модуль. Это простая теорема, которая легко доказывается (достаточно отдельно рассмотреть неотрицательные $x$, а затем отдельно — отрицательные). О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений (т.е. уравнений, содержащих знак радикала), ученики дружно забывают эту формулу.
Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом:
Это очень простые примеры. Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий:
Раберёмся с первым выражением: $\sqrt[4]<<<3>^<4>>>$. Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем:
Затем извлекаем корень четвёртой степени из числа 81:
Теперь сделаем то же самое со вторым выражением. Сначала возводим число −3 в четвёртую степени, для чего потребуется умножить его само на себя 4 раза:
\[<<\left( -3 \right)>^<4>>=\left( -3 \right)\cdot \left( -3 \right)\cdot \left( -3 \right)\cdot \left( -3 \right)=81\]
Получили положительное число, поскольку общее количество минусов в произведении — 4 штуки, и они все взаимно уничтожится (ведь минус на минус даёт плюс). Дальше вновь извлекаем корень:
В принципе, эту строчку можно было не писать, поскольку и ежу понятно, что ответ получится один и тот же. Т.е. чётный корень из той же чётной степени «сжигает» минусы, и в этом смысле результат неотличим от обычного модуля:
Эти вычисления хорошо согласуются с определением корня чётной степени: результат всегда неотрицателен, да и под знаком радикала тоже всегда стоит неотрицательное число. В противном случае корень не определён.
Замечание по поводу порядка действий
Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.
Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.
Вынесение минуса из-под знака корня
Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:
Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:
Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.
И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!
Арифметический корень
Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Забьём на чётные/нечётные показатели, забьём на все определения, приведённые выше — будем работать только с неотрицательными числами. Что тогда?
А тогда мы получим арифметический корень — он частично пересекается с нашими «стандартными» определениями, но всё же отличается от них.
Определение. Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, что $<^
Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: подкоренное выражение теперь всегда неотрицательно, да и сам корень тоже неотрицателен.
Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы:
Область поиска арифметического корня — неотрицательные числа
Как видите, отныне нас интересуют лишь те куски графиков, которые расположены в первой координатной четверти — там, где координаты $x$ и $y$ положительны (или хотя бы ноль). Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: имеем мы право ставить под корень отрицательное число или нет. Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.
Возможно, вы спросите: «Ну и зачем нам такое кастрированное определение?» Или: «Почему нельзя обойтись стандартным определением, данным выше?»
Что ж, приведу всего одно свойство, из-за которого новое определение становится целесообразным. Например, правило возведения в степень:
Обратите внимание: мы можем возвести подкоренное выражение в любую степень и одновременно умножить на эту же степень показатель корня — и в результате получится то же самое число! Вот примеры:
Ну и что в этом такого? Почему мы не могли сделать это раньше? А вот почему. Рассмотрим простое выражение: $\sqrt[3]<-2>$ — это число вполне нормальное в нашем классическом понимании, но абсолютно недопустимо с точки зрения арифметического корня. Попробуем преобразовать его:
Как видите, в первом случае мы вынесли минус из-под радикала (имеем полное право, т.к. показатель нечётный), а во втором — воспользовались указанной выше формулой. Т.е. с точки зрения математики всё сделано по правилам.
WTF?! Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Никак. Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.
Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.
Алгебраический корень: для тех, кто хочет знать больше
Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.
Так вот: помимо «классического» определения корня $n$-й степени из числа и связанного с ним разделения на чётные и нечётные показатели есть более «взрослое» определение, которое вообще не зависит от чётности и прочих тонкостей. Это называется алгебраическим корнем.
Определение. Алгебраический корень $n$-й степени из числа любого $a$ — это множество всех чисел $b$ таких, что $<^
Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:
Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.
Пример. Вычислите выражения:
Решение. С первым выражением всё просто:
Именно два числа входят в состав множества. Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.
Тут мы видим множество, состоящее лишь из одного числа. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный.
Наконец, последнее выражение:
Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.
Финальное замечание. Обратите внимание: я не случайно везде отмечал, что мы работаем с действительными числами. Потому что есть ещё комплексные числа — там вполне можно посчитать и $\sqrt[4]<-16>$, и многие другие странные вещи.
Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. Их вычеркнули из большинства учебников, поскольку наши чиновники считают эту тему «слишком сложной для понимания».
На этом всё. В следующем уроке мы рассмотрим все ключевые свойства корней и научимся, наконец, упрощать иррациональные выражения.:)