Признаки делимости правило

Признаки делимости правило

Пример.
7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25.

Признаки делимости на 10, 100 и 1000.

На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 — только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 — только те, у которых три последние цифры нули.

Примеры.
8200 делится на 10 и на 100;
542000 делится на 10, 100, 1000.

Признак делимости на 11.

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.

Примеры.
Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12.
Число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11.
Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 -7 = 4 на 11 не делится.

Признак делимости на 7.

Таким образом для делимости на числа первого десятка, кроме 7, существуют удобные признаки; для 7 удобного признака делимости не найдено.

Можно дать следующий признак делимости на 7, который недостаточно удобен. Разобьем число справа налево на грани, по три цифры в каждой грани. Число делится на 7, если разность суммы чисел в гранях, стоящих на четных местах, и суммы чисел в гранях, стоящих на нечетных местах, делится на 7. Так, число 159 213 608 421 делится на 7, так как 421 + 213=634, 608 + 159 = 767 и разность 767 — 634 = 133 делится на 7.

Признаки делимости

Чтобы понять делится ли одно число на другое не обязательно проводить сложные вычисления или иметь при себе калькулятор.

Математики придумали специальные правила, который помогут вам узнать делятся ли числа нацело друг на друга. Эти правила называются признаками делимости .

Число делится на 2 , если его последняя цифра делится на 2 или является нулём.

52 делится на 2 . Последняя цифра 2 делится на 2 нацело 2 : 2 = 1 .

300 делится на 2 . Последняя цифра 0 .

11 не делится на 2 . Последняя цифра 1 не делится на 2 .

Число делится на 4 , если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4 .

548 делится на 4 . Две последние цифры 48 делятся на 4 нацело (48 : 4 = 12) .

600 делится на 4 . Две последние цифры нули.

755 не делится на 4 . Две последние цифры 55 не делятся на 4 .

Признак делимости на 8

Число делится на 8 , если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8 .

• 1128 делится на 8 . Три последние цифры 128 делятся на 8 нацело (128 : 8 = 16) .
• 7000 делится на 8 . Три последние цифры нули.
• 6755 не делится на 4 . Три последние цифры 755 не делятся на 4 .

При́знак дели́мости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Существуют несколько простых правил, позволяющих найти малые делители числа в десятичной системе счисления:

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на

2 (т.е. чётная).

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3 (т. к. все числа вида 10^n при делении на 3 дают в остатке единицу.).

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних цифр делится на 4.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (т.е. равна 0 или 5).

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3 (т.е. оно чётное и сумма его цифр делится на три).

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (т. н. 364 делится на 7 т. к. 36-2*4 = 28 делится на 7).

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трех последних цифр делится на 8.

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра — ноль.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (т. е. 182919 делится на 11 т. к. 1-8+2-9+1-9 = −22 делится на 11 (т. к. все числа вида 10^n при делении на 11 дают в остатке 1 или -1.).

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13 (т. н. 858 делится на 13 т. к. 85-9*8 = 13 делится на 13).

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две последние цифры делятся на 25 (без остатка).

Число делится на 1001 тогда и только тогда, когда оно делится на 7, 11 и 13. Если любое трёхзначное число умножить на 1001, то оно повторится ещё 1 раз. Например: 101*1001=101101.

(на 8 число делится только когда три последних цифры образуют трехзначное число делящиеся на восемь(уточнение имеющегося правила))

3. Признаки делимости на 9 и на 3. Правила

Натуральное число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр
кратна трем.

Число 762 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр:
7 + 6 + 2 = 15 — кратна 3 ( 15 : 3 = 5 ).

Число 4587 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр:
4 + 5 + 8 + 7 = 24 — кратна 3 ( 24 : 3 = 8 ).

Число 3572 не кратно 3, так как сумма его цифр:
3 + 5 + 7 + 2 = 17 — не делится на 3 без остатка ( 17 : 3 = 5

Признак делимости на 9 такой же, как и на 3. Натуральное число
делится на 9 без остатка, если сумма его цифр кратна девяти.

Число 765 делится на 9 без остатка, так как сумма его цифр:
7 + 6 + 5 = 18 — кратна 9 ( 18 : 9 = 2 ).

Число 4698 кратно 9, так как сумма его цифр:
4 + 6 + 9 + 8 = 27 — делится на 9 без остатка ( 27 : 9 = 3 ).

Число 3572 не кратно 9, так как сумма его цифр:
3 + 5 + 7 + 2 = 17 — не делится на 9 без остатка ( 17 : 9 = 1

Задачи на тему «Признаки делимости на 9 и на 3»

которое делится на 3 без остатка.

1) 462 2) 346 3) 721 Неверно. Не кликай на пустое поле. кратное девяти.

1) 468 2) 128 3) 296 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. которое делится на 9 без остатка.

1) 543 2) 736 3) 342 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. кратное трем.

1) 561 2) 427 3) 832 Неверно. Не кликай на пустое поле. которое делится на 3 без остатка.

1) 914 2) 923 3) 915 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. которое делится на 9 без остатка.

1) 233 2) 2385 3) 5632 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. кратное девяти.

1) 6245 2) 5454 3) 9812 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. кратное трем.

1) 3514 2) 4178 3) 7800 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. кратное трем.

1) 56000 2) 57300 3) 57200 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно.

Руководствуясь признаками делимости на 9 и на 3, выберите число,

кратное девяти. 1) 7349 2) 9945 3) 5624 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. кратное трем. 1) 2745 2) 5267 3) 7385 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. кратное девяти. 1) 9346 2) 7528 3) 8343 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. кратное трем. 1) 3245 2) 4368 3) 7295 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. кратное девяти. 1) 7236 2) 3925 3) 5729 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. кратное трем. 1) 3812 2) 8235 3) 5419 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно.

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел– это правила, позволяющие не производя деления сравнительно быстро выяснить, делится ли это число на заданное без остатка.
Некоторые из признаков делимости довольно просты, некоторые сложнее. На этой странице Вы найдете как признаки делимости простых чисел, таких как, например, 2, 3, 5, 7, 11, так и признаки делимости составных чисел, таких, как 6 или 12.
Надеюсь, данная информация будет Вам полезной.
Приятного обучения!

Признак делимости на 2

Это один из самых простых признаков делимости. Звучит он так: если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то оно чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.
Другими словами, если последняя цифра числа равна 2, 4, 6, 8 или 0 — число делится на 2, если нет, то не делится
Например, числа: 234, 8270, 1276, 9038, 502 делятся на 2, потому что они чётные.
А числа: 235, 137, 2303
на 2 не делятся, потому что они нечетные.

Признак делимости на 3

У этого признака делимости совсем другие правила: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
А значит, чтобы понять, делится ли число на 3, надо лишь сложить между собой цифры, из которых оно состоит.
Выглядит это так: 3987 и 141 делятся на 3, потому что в первом случае 3+9+8+7=27 (27:3=9 — делится без остака на 3), а во втором 1+4+1=6 (6:3=2 — тоже делится без остака на 3).
А вот числа: 235 и 566 на 3 не делятся, потому как 2+3+5=10 и 5+6+6=17 (а мы знаем, что ни 10 ни 17 не делятся на 3 без остатка).

Признак делимости на 4

Этот признак делимости будет посложнее. Если последние 2 цифры числа образуют число, делящееся на 4 или это 00, то и число делится на 4, в противном случае данное число не делится на 4 без остатка.
Например: 100 и 364 делятся на 4, потому что в первом случае число оканчивается на 00, а во втором на 64, которое в свою очередь делится на 4 без остатка (64:4=16)
Числа 357 и 886 не делятся на 4, потому что ни 57 ни 86 на 4 не делятся, а значит не соответствуют данному признаку делимости.

Признак делимости на 5

И опять перед нами довольно простой признак делимости: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Это значит, что любые числа, оканчивающиеся цифрами 0 и 5, например 12355 и 430, подпадают под правило и делятся на 5.
А, к примеру, 15493 и 564 не оканчиваются на цифру 5 или 0, а значит они не могут делиться на 5 без остатка.

Признак делимости на 6

Перед нами составное число 6, которое является произведением чисел 2 и 3. Поэтому признак делимости на 6 тоже является составным: для того, чтобы число делилось на 6, оно должно соответствовать двум признакам делимости одновременно: признаку делимости на 2 и признаку делимости на 3. При этом обратите внимание, что такое составное число как 4 имеет индивидуальный признак делимости, ведь оно является призведением числа 2 на само себя. Но вернемся к признаку делимости на 6.
Числа 138 и 474 чётные и отвечают признакам делимости на 3 (1+3+8=12, 12:3=4 и 4+7+4=15, 15:3=5), а значит они делятся на 6. Зато 123 и 447 хоть и делятся на 3 (1+2+3=6, 6:3=2 и 4+4+7=15, 15:3=5), но они нечётные, а значит не соответсвуют признаку делимости на 2, а следовательно и не соответсвуют признаку делимости на 6.

Признак делимости на 7

Этот признак делимости более сложный: число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков этого числа делится на 7 или равен 0.
Звучит довольно запутанно, но на практике просто. Смотрите сами: число 959 делится на 7, потому что 95-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 делится на 7 без остатка). Причем если с полученным во время преобразований числом возникли сложности (из-за его размера сложно понять, делится оно на 7 или нет, то данную процедуру можно продолжать столько раз, сколько Вы сочтете нужным).
Например, 455 и 45801 обладают признаками делимости на 7. В первом случае все довольно просто: 45-2*5=45-10=35, 35:7=5. Во втором случае мы поступим так: 4580-2*1=4580-2=4578. Нам сложно понять, делится ли 4578 на 7, поэтому повторим процесс: 457-2*8=457-16=441. И опять воспользуемся признаком делимости, так как перед нами пока еще трехзначное число 441. Итак, 44-2*1=44-2=42, 42:7=6, т.е. 42 делится на 7 без остатка, а значит и 45801 делится на 7.
А вот числа 111 и 345 не делятся на 7, потому что 11-2*1=11-2=9 (9 не делится без остатка на 7) и 34-2*5=34-10=24 (24 не делится без остатка на 7).

Признак делимости на 8 звучит так: если последние 3 цифры образуют число, делящееся на 8, или это 000, то заданное число делится на 8.
Числа 1000 или 1088 делятся на 8: первое оканчивается на 000, у второго 88:8=11 (делится на 8 без остатка).
А вот числа 1100 или 4757 не делятся на 8,так как числа 100 и 757 не делятся без остатка на 8.

Признак делимости на 9

Этот признак делимости схож с признаком делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Например: 3987 и 144 делятся на 9, потому что в первом случае 3+9+8+7=27 (27:9=3 — делится без остака на 9), а во втором 1+4+4=9 (9:9=1 — тоже делится без остака на 9).
А вот числа: 235 и 141 на 9 не делятся, потому как 2+3+5=10 и 1+4+1=6 (а мы знаем, что ни 10 ни 6 не делятся на 9 без остатка).

Признаки делимости на 10, 100, 1000 и другие разрядные единицы

Данные признаки делимости я объединил потому, что их можно описать одинаково: число делится на разрядную единицу, если количество нулей на конце числа больше или равно количеству нулей у заданной разрядной единицы.
Другими словами, например, мы имеем такие числа: 6540, 46400, 867000, 6450. из них все делятся на 10; 46400 и 867000 делятся еще и на 100; и лишь одно из них — 867000 делится на 1000.
Любые числа, у которых количество нулей на конце меньше чем у разрядной единицы, не делятся на эту разрядную единицу, например 60030 и 793 не делятся 100.

Признак делимости на 11

Для того, чтобы выяснить, делится ли число на 11, надо получить разность сумм четных и нечетных цифр этого числа. Если данная разность равна 0 или делится на 11 без остатка, то и само число делится на 11 без остатка.
Чтобы было понятнее, предлагаю рассмотреть примеры: 2354 делится на 11, потому что (2+5)-(3+4)=7-7=0. 29194 тоже делится на 11, так как (9+9)-(2+1+4)=18-7=11.
А вот 111 или 4354 не делятся на 11, так как в первом случае у нас получается (1+1)-1=1, а во втором (4+5)-(3+4)=9-7=2.

Признак делимости на 12

Число 12 является составным. Его признаком делимости является соответствие признакам делимости на 3 и на 4 одновременно.
Например 300 и 636 соответствуют и признакам делимости на 4 (последние 2 цифры это нули или делятся на 4) и признакам делимости на 3 (сумма цифр и первого и втророго числа делятся на 3), а занчит, они делятся на 12 без остатка.
А вот 200 или 630 не делятся на 12, потому что в первом случае число отвечает лишь признаку делимости на 4, а во втором — лишь признаку делимости на 3. но не обоим признакам одновременно.

Признак делимости на 13

Признаком делимости на 13 является то, что если число десятков числа, сложенное с умноженными на 4 единицами этого числа, будет кратно 13 или равно 0, то и само число делится на 13.
Возьмем для примера 702. Итак, 70+4*2=78, 78:13=6 (78 делится без остатка на 13), значит и 702 делится на 13 без остатка. Еще пример — число 1144. 114+4*4=130, 130:13=10. Число 130 делится на 13 без остатка, а значит заданное число соответсвует признаку делимости на 13.
Если же взять числа 125 или 212, то получаем 12+4*5=32 и 21+4*2=29 соответсвенно, и ни 32 ни 29 не делятся на 13 без остатка, а значит и заданные числа не делятся без остатка на 13.

Делимость чисел

Как видно из вышеперечисленного, можно предположить, что к любому из натуральных чисел можно подобрать свой индивидуальный признак делимости или же «составной» признак, если число кратно нескольким разным числам. Но как показывает практика, в основном чем больше число, тем сложнее его признак. Возможно, время ,потраченное на проверку признака делимости, может оказаться равно или больше чем само деление. Поэтому мы и используем обычно простейшие из признаков делимости.

Основные признаки делимости.

Признак делимости — правила с помощью которого можно относительно бегло найти, является ли число кратным предварительно выбранному. Если для двух целых чисел m и n имеется такое целое число k и nk=m, то число m делится на n

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости.

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы: на единицу делится все числа. Так же элементарно и с признаками делимости на два, пять, десять. На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять – число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число; 9651 не поделится на 2, так как 1 — цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9, 4, 6 и 8, 25. Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9.

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее.

Цифру можно без остатка разделить на четыре, если у нее две последние цифры нули или являются числом, которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь. Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть, если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и «числа, оставшегося без последней цифры»делится на семь, то и само число делится на семь.

Число 296492. Возьмем последнюю цифру «2», удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 — 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру «5», выходит 10. Вычитаем 2964 — 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой «4», удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 — 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь – не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру «7», удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 — 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11.

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 — 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа, две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах – число невозможно поделить целиком на 25.

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее, примеры, доказательства.

Продолжим разбирать признаки делимости. В этой статье изучим признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее. Сначала дадим их формулировки и приведем примеры применения указанных признаков делимости. После этого докажем признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 , … В заключение рассмотрим примеры доказательства делимости на 10 , 100 , 1 000 и т.д. с использованием формулы бинома Ньютона и метода математической индукции.

Навигация по странице.

Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и т.д., примеры

Сформулируем сначала признак делимости на 10: если последняя цифра в записи целого числа есть 0 , то такое число делится на 10 ; если же последняя цифра в записи числа отлична от 0 , то такое число не делится на 10 .

Формулировка признака делимости на 100 такова: если две последние цифры в записи целого числа являются нулями, то такое число делится на 100 ; если же хотя бы одна из двух последних цифр числа отлична от цифры 0 , то такое число на 100 на делится.

Аналогично формулируются признаки делимости на 1 000 , 10 000 и так далее, в них лишь речь идет о последних трех, четырех и так далее нулях в записи целого числа.

Отдельно нужно сказать, что приведенные признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 и т.д. не распространяются лишь на число нуль. Мы знаем, что нуль делится на любое целое число. В частности, нуль делится и на 10 , и на 100 , и на 1 000 , и т.д.

Озвученные признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 , … очень легко и удобно применять на практике, для этого нужно исследовать нужное количество последних цифр в записи числа. Рассмотрим примеры применения признаков делимости на 10, 100, 1 000, …

Какие из целых чисел 500 , −1 010 , −50 012 , 440 000 300 000 , 67 893 делятся на 10 ? Какие из этих чисел делятся на 10 000 ? А какие числа не делятся на 100 ?

Признак делимости на 10 позволяет нам утверждать, что числа 500 , −1 010 , 440 000 300 000 делятся на 10 , так как в их записи последней цифрой является 0 , а числа −50 012 и 67 893 на 10 не делятся, так как их записи оканчиваются цифрами 2 и 3 соответственно.

На 10 000 делится лишь число 440 000 300 000 , так как только в его записи справа находится четыре цифры 0 .

Основываясь на признаке делимости на 100 , мы можем сказать, что на 100 не делятся числа −1 010 , −50 012 и 67 893 , так как в их записях две последние цифры не являются цифрами 0 .

500 , −1 010 , 440 000 300 000 делятся на 10 ; 440 000 300 000 делится на 10 000 ; 1 010 , −50 012 и 67 893 не делятся на 100 .

Доказательство признаков делимости на 10, 100, 1 000 и т.д.

Доказательство признаков делимости на 10, 100, 1 000 и так далее базируется на правиле умножения натурального числа на 10, 100, 1 000, …, а также на понятии и свойствах делимости.

Покажем доказательство признака делимости на 10 . Для удобства переформулируем этот признак в виде необходимого и достаточного условия делимости на 10 .

Для делимости целого числа на 10 необходимо и достаточно, чтобы в его записи последней цифрой была цифра 0 .

Сначала докажем необходимость. Пусть целое число a делится на 10 , докажем, что в этом случае в записи числа a последней цифрой является цифра 0 .

Так как a делится на 10 , то по понятию делимости существует такое целое число q , что a=10·q . Из правила умножения на 10 следует, что произведение 10·q равно целому числу, запись которого получается из записи числа q , если в ней справа дописать цифру 0 . Таким образом, последней цифрой в записи числа a=10·q является цифра 0 . Так доказана необходимость.

Переходим к доказательству достаточности. Пусть в записи целого числа a последней цифрой является 0 , докажем, что число a в этом случае делится на 10 .

Если в записи целого числа последней цифрой является 0 , то такое число в силу правила умножения на 10 можно представить как a=a₁·10 , где запись числа a₁ получается из записи числа a , если в ней убрать последнюю цифру. По понятию делимости из равенства a=a₁·10 следует делимость числа a на 10 . Достаточность доказана.

По аналогии доказываются и признаки делимости на 100 , 1 000 и так далее.

Другие случаи делимости на 10, 100, 1 000 и т.д.

В этом пункте мы хотим показать, какие еще бывают способы доказательства делимости на 10 . Например, если число задано в виде значения какого-нибудь выражения с переменной при некотором значении переменной, то применять признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 часто оказывается невозможно. Поэтому приходится прибегать к другим методам решения.

Иногда показать делимость позволяет формула бинома Ньютона. Рассмотрим пример.

Делится ли на 10 при любом натуральном n ?

Число 11 можно представить в виде суммы 10+1 , после чего применить формулу бинома Ньютона:

Очевидно, полученное произведение делится на 10 , так как содержит множитель 10 , а значение выражения в скобках является натуральным числом при любом натуральном n . Следовательно, делится на 10 при любом натуральном n .

Другим способом доказательства делимости является метод математической индукции. Разберем его применение на примере.

Докажите, что делится на 10 при любом натуральном n .

Воспользуемся методом математической индукции.

При n=1 имеем , а 10 делится на 10 .

Предположим, что при n=k значение выражения делится на 10 , то есть, будем считать, что делится на 10 .

Исходя из предположения предыдущего шага, докажем, что значение выражения делится на 10 при n=k+1 .

Выполним следующие преобразования:

В полученной разности выражение делится на 10 , так как делится на 10 , а выражение тоже делится на 10 , так как содержит множитель 10 . Следовательно, вся разность делится на 10 . Этим доказано, что значение выражения делится на 10 при n=k+1 .

Так методом математической индукции доказано, что делится на 10 при любом натуральном n .

Если требуется доказать делимость на 10 значения многочлена с переменной n , то можно использовать такой подход. Нужно показать, что при n=10·m , n=10·m+1 , …, n=10·m+9 , где m – целое число, значение исходного выражения делится на 10 . Этим будет доказана делимость исходного выражения на 10 при любом целом n . Примеры доказательств делимости таким способом можно посмотреть в материале другие случаи делимости на 3.