Определить токи в ветвях по законам кирхгофа
Уравнения Кирхгофа для цепи с индуктивными связями
Задачи для самостоятельного решения
В электрической цепи с двумя источниками синусоидальной ЭДС одна из катушек имеет индуктивные связи с двумя другими катушками.
Требуется составить систему уравнений по законам Кирхгофа для определения комплексных действующих значений токов ветвей.
Расчет сложной цепи постоянного тока различными методами
- 15-08-2017
- 4094
Расчет сложной цепи постоянного тока
Расчет сложной цепи постоянного тока на основании законов Кирхгофа, методом контурных токов, методом наложения, методом эквивалентного генератора. Построение потенциальной диаграммы.
Для электрической цепи (рис. 0) выполнить следующее:
1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;
2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;
3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;
4) составить баланс мощностей для заданной схемы;
5) результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить:
6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;
7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.
РГР №2 Расчет электрических цепей синусоидального тока НвГУ
РГР №2 Расчет электрических цепей синусоидального тока, НвГУ, Нижневартовск 2011
А.В. Бубнов, В.Л. Федоров. Расчетно-графическая работа № 2 Расчет электрических цепей синусоидального тока, НвГУ, Нижневартовск 2011
Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта, выполнить следующее:
1. На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:
2. Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчета линейных электрических цепей.
3. По результатам расчета в п.2 произвести проверку выполненных расчетов при помощи законов Кирхгофа.
4. Определить комплексную мощность источника питания и проверить баланс мощностей.
5. Определить показания ваттметра.
6. Используя данные расчетов, записать мгновенные значения токов и напряжений.
7. Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов. При этом потенциал точки а, указанной на схеме, принять равным нулю.
Расчет электрической цепи постоянного тока ЕНУ (ЦИСИ, ЦГПИ)
Расчет электрической цепи постоянного тока ЕНУ
Задания для самостоятельной работы обучающихся
Задача 1 Расчет электрической цепи постоянного тока
1. Для электрической схемы, изображенной на рис.0, по заданным сопротивлениям и ЭДС найти все токи способами:
а) используя законы Кирхгофа;
б) методом контурных токов;
в) методом узловых напряжений;
г) определить ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора.
Свести результаты расчетов в одну таблицу.
2. Определить показание вольтметра.
3. Составить баланс мощностей.
Скачать расчет электрической цепи постоянного тока
Расчет цепи постоянного тока по законам Кирхгофа
Задача 1.10 Определить ток в ветви с сопротивлением R3, используя законы Кирхгофа, если: E1 = 54 В, E2 = 162 В, R1 = R2 = 9 Ом, R3 = 40 Ом, внутренние соапотивления источников ЭДС r1 = r2 = 1 Ом.
Задача Расчет электрической цепи постоянного тока
Задача Расчет электрической цепи постоянного тока
Электротехника и основы электроники: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений / Соколов Б.П., Соколов В.Б. – М.: Высш. шк., 1985
Задача 1 Расчет электрической цепи постоянного тока
Для электрической схемы, изображенной на рисунке, по заданным сопротивлениям и ЭДС выполнить следующее:
1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;
2) найти все токи, пользуясь методом контурных токов;
3) проверить правильность решения, применив метод узлового напряжения. Предварительно упростить схему, заменив треугольник сопротивления R4, R5 и R6 эквивалентной звездой. Начертить расчетную схему с эквивалентной звездой и показать на ней токи;
4) определить ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора;
5) определить показание вольтметра и составить баланс мощностей для заданной схемы;
6) построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.
Законы Кирхгофа — формулы и примеры использования
Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах.
Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.
где – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0
В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.
Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока.
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре
где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii , Ri – ток и сопротивление i -й ветви.
Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2 ) Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4
Замечание о знаках полученного уравнения:
1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;
2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.
Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.
Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа
Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.
Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.
Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только ( y – 1) уравнений являются независимыми друг от друга.
Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b — (y — 1) = b — y +1 .
Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.
Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 3 ). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.
Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y — 1 = 4 — 1 = 3 уравнения, а по второму b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 , также три уравнения.
Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 4 ). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.
Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа
Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.
Потенциальная диаграмма – это графическое изображение второго закона Кирхгофа, которая применяется для проверки правильности расчетов в линейных резистивных цепях. Потенциальная диаграмма строится для контура без источников тока, причем потенциалы точек начала и конца диаграммы должны получиться одинаковыми.
Рассмотрим контур abcda схемы, изображенной на рис. 4. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k.
Рис. 4. Контур для построения потенциальной диаграммы
Потенциал любого узла принимаем равным нулю (например, ?а= 0), выбираем обход контура и определяем потенциалы точек контура: ?а = 0, ?к = ?а — I1R1 , ? b = ? к + Е1, ?с = ? b — I2R2 , ? d = ?c — Е2, ? a = ?d + I3R3 = 0
При построении потенциальной диаграммы необходимо учитывать, что сопротивление ЭДС равно нулю (рис. 5 ).
Рис. 5. Потенциальная диаграмма
Законы Кирхгофа в комплексной форме
Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений.
Первый закон Кирхгофа : «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»
Второй закон Кирхгофа : «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура».
Примеры решения задач на законы Кирхгофа
Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.
Задача 1
Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.
Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.
Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи
Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.
На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.
Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:
Все эти три уравнения образуют систему
Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).
Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.
Задача 2
Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.
Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2
Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.
На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными
Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины
Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками.
Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.
Постоянный ток
Прочитав статейки про первый и второй законы Кирхгофа, уважаемый читатель может сказать: «Хорошо, MyElectronix, ты рассказал мне, конечно, интересные штуки, но что мне дальше с ними делать? Пока по твоим словам я заключил, что если я соберу ручками схему, то я смогу в каждом ее узле и в каждом контуре намерить вот такие вот зависимости. Это здорово, но я хотел бы рассчитывать схемы, а не просто наблюдать зависимости!»
Господа, все эти замечания абсолютно верные и в ответ на них можно лишь рассказать о расчете электрических схем с помощью законов Кирхгофа. Без лишних слов перейдем сразу к делу!
Начнем с самого простейшего случая. Он изображен на рисунке 1. Допустим, ЭДС источника питания равна Е1=5 В, а сопротивления R1=100 Ом, R2=510 Ом, R3=10 кОм. Требуется рассчитать напряжения на резисторах и ток через каждый резистор.
Господа, замечу сразу, эту задачу можно решить гораздо более простым способом, чем с применением законов Кирхгофа. Однако сейчас наша задача не искать оптимальные способы решения, а на наглядном примере рассмотреть методику применения законов Кирхгофа при расчете схем.
Рисунок 1 – Простая схема
В этой схеме мы можем видеть три контура. Если возник вопрос – а почему три, то рекомендую посмотреть статью про второй закон Кирхгофа . В той статье имеется практически такая же схема с наглядным пояснением методики расчета числа контуров.
Господа, хочу отметить один тонкий момент. Хоть контура и три, независимых из них только два. Третий контур включает в себя все остальные и не может считаться независимым. И вообще всегда при всех расчетах мы должны использовать только независимые контура. Не поддавайтесь искушению записать еще одно уравнение за счет этого общего контура, ничего хорошего не выйдет .
Итак, будем использовать два независимых контура. Для этого зададимся в каждом контуре направлением обхода контура. Как мы уже говорили, это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода каждого контура нарисуем синей стрелкой.
Далее зададимся направлением токов в ветвях: просто проставим его наугад. Не важно, угадаем мы сейчас направление или нет. Если угадали, то в конце расчета мы получим ток со знаком плюс, а если ошиблись – со знаком минус. Итак, обозначим токи в ветвях черными стрелочками с подписями I1, I2, I3.
Мы видим, что в контуре №1 направление токов I1 и I3, а также направление источника питания совпадают с направлением обхода, поэтому будем считать их со знаком плюс. В контуре №2 ток I2 совпадет с направлением обхода, поэтому будет со знаком плюс, а ток I3 направлен в другую сторону, поэтому будет со знаком минус. Запишем второй закон Кирхгофа для контура №1:
А теперь запишем этот же закон для контура №2:
Видим, что в контуре №2 нет источников питания, поэтому в левой части (где у нас согласно второму закону Кирхгофа стоит сумма ЭДС) у нас нолик. Итак, у нас есть два уравнения, а неизвестных-то у нас три (I1, I2, I3). А нам известно, что для нахождения трех неизвестных нужна система с тремя независимыми уравнениями. Где же взять третье недостающее уравнение? А, например, из первого закона Кирхгофа ! Согласно этому закону мы можем записать
Господа, теперь полный порядок, у нас есть три уравнения и три неизвестных и нам остается только решить вот такую вот систему уравнений
Подставим конкретные числа. Все расчеты будем вести в кошерной системе СИ. Рекомендую всегда считать только в ней. Не поддавайтесь искушению подставлять куда-то миллиметры, мили, килоамперы и прочее. Возможно возникновение путаницы.
Решение таких систем рассматривается чуть ли не в начальной школе и, полагаю, не должно вызывать трудностей . Если что, есть куча математических пакетов, которые сделают это за вас, если вам лень самим ручками считай. Поэтому мы опустим процесс решения, а сразу приведем результат
Видим, что все токи получились у нас со знаком плюс. Это значит, что мы верно угадали их направление. Да, то есть токи в схеме текут именно в том направлении, как мы нарисовали стрелочки на рисунке 1. Однако из условия задачи необходимо найти не только токи через резисторы, но и падение напряжения на них. Как это сделать? Например, с помощью уже изученного нами закона Ома . Как мы помним, закон Ома связывает между собой ток, напряжение и сопротивление. Если нам известны любые две из этих величин, мы легко можем найти третью. В данном случае мы знаем сопротивление и ток, который течет через это сопротивление. Поэтому, используя вот эту формулу
находим напряжение на каждом резисторе
Заметим, господа, что напряжения на резисторах R2 и R3 равны между собой. Это и логично, поскольку они соединены между собой параллельно. Однако пока не будем на этом акцентировать большое внимание, рассмотрим это лучше в другой раз.
Итак, господа, мы решили эту простую задачку с помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома . Но это был совсем простой пример. Давайте попробуем решить более сложную задачу. Взгляните на рисунок 2.
Рисунок 2 – Схема посложнее
Схема выглядит внушительно, не правда ли? Возможно, вам даже не верится, что эту схему можно легко рассчитать. Однако, господа, уверяю вас, вы обладаете всеми необходимыми знаниями для расчета этой схемы, если уже изучили мои предыдущие статьи. Сейчас вы в этом убедитесь.
Для начала зададимся конкретными цифрами значений сопротивлений резисторов и напряжений источников.
Пусть Е1=15 В, Е2=24 В, R1= 10 Ом, R2 = 51 Ом, R3=100 Ом, R4=1 кОм, R5=10 Ом, R6=18 Ом, R7=10 кОм.
Найти, как и в прошлой задаче, требуется все токи в схеме и напряжения на всех резисторах.
В этой схеме мы можем видеть три независимых контура. Обозначим их римскими цифрами I, II, III. В каждом контуре зададимся направлением обхода. Они показаны синими стрелками.
Дальше как и в прошлый раз наугад расставим направления токов во всех ветвях и подпишем где какой ток. Видно, что всего у нас 6 ветвей и, соответственно, 6 разных токов (I1…I6).
Теперь запишем второй закон Кирхгофа для всех трех независимых контуров.
Второй закон Кирхгофа для контура I:
Второй закон Кирхгофа для контура II:
Второй закон Кирхгофа для контура III:
У нас есть три уравнения, однако неизвестных токов аж 6. Как и в прошлой задаче для получения недостающих уравнений запишем первые законы Кирхгофа для узлов.
Первый закон Кирхгофа для узла А:
Первый закон Кирхгофа для узла В:
Первый закон Кирхгофа для узла С:
Собственно, у нас теперь есть система из 6 уравнений с 6 неизвестными. Остается только решить эту систему
Подставляя числа, заданные в условии, получаем
Опуская решения за пределами статьи, приведем итоговый результат
Господа, мы видим, что почти все токи, кроме I4 получились у нас со знаками «минус». Это значит, что мы не угадали их направление, когда рисовали стрелочки на рисунке 2 . То есть все токи, кроме тока I4 на самом деле текут в противоположные стороны. А ток I4 течет так, как мы нарисовали. Хотя бы с ним мы угадали верно.
Теперь все по тому же закону Ома ровно как в прошлом примере рассчитаем напряжения на резисторах:
Вот и все, господа: схема рассчитана, а задачка решена. Таким образом, вы теперь обладаете весьма мощным инструментом по расчету электрических схем. С помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома вы сможете рассчитать весьма непростые схемы, найти величины токов и их направления, а также напряжения на всех нагрузках цепи. Более того, зная токи и напряжения вы легко сможете рассчитать и мощности, которые на этих резисторах выделяются, если воспользуетесь рекомендациями из моей предыдущей статьи .
На этом на сегодня все господа. Огромной вам всем удачи и успешных расчетов!
Вступайте в нашу группу Вконтакте
Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.
Практикум: Электрические цепи постоянного тока и методы их расчета
Практические занятия проводятся с целью успешного освоения студентами теоретического материала и применения его для решения задач и анализа полученных результатов. На практических занятиях №1 и №2 подробно рассмотрены примеры расчета электрических цепей с помощью различных методов, показано, как надо проверять правильность решения задачи и проанализированы возможные режимы работы всей цепи и отдельных ее элементов.
6.1. Практическое занятие №1
Расчет электрических цепей с использованием законов Ома и Кирхгофа
6.1.1. Вопросы для подготовки к занятиям
1. Сформулировать закон Ома для участка и для замкнутого контура.
2. Нарисовать схемы с последовательным и параллельным соединением пассивных элементов, указать основные свойства этих соединений, схему со смешанным соединением пассивных элементов; дать порядок расчета этих схем.
3. Нарисовать схемы соединения пассивных элементов звездой и треугольником и объяснить порядок их расчета.
4. Сформулировать первый и второй законы Кирхгофа, объяснить правила знаков.
5. Сформулировать уравнение баланса мощностей.
6. Как составляется система уравнений для расчета сложных схем при помощи уравнений Кирхгофа?
6.1.2. Расчет цепи с одним источником питания
Задача 1. В цепи, схема которой приведена на рис. 1.29, ЭДС аккумуляторной батареи Е = 78 В, ее внутреннее сопротивление r0 = 0,5 Ом. Сопротивления резисторов R1 = 10 Ом, R2 = 5 Ом, R3 = 4 Ом. Вычислить токи во всех ветвях цепи и напряжения на зажимах батареи и на каждом их резисторов.
1. Обозначение токов и напряжений на участках цепи.
Резистор R3 включен последовательно с источником, поэтому ток I для них будет общим, токи в резисторах R1 и R2 обозначим соответственно I1 и I2. Аналогично обозначим напряжения на участках цепи.
2. Определение эквивалентного сопротивления цепи:
3. Ток в цепи источника рассчитываем по закону Ома:
I = E / Rэ = 78 / 7,8 = 10 А.
4. Определение напряжений на участках цепи:
U12 = R12 I = 3,3 * 10 = 33 В; U3 = R3 I = 4 * 10 = 40 В;
U = E — r0 I = 78 — 0,5 * 10 = 73 В.
5. Определение токов и мощностей всех участков:
Мощность потерь на внутреннем сопротивлении источника
D P = r0 I 2 = 50 Вт.
Мощность источника P = E I = 780 Вт.
1. Как проверить правильность решения задачи?
Правильность вычисления токов можно проверить, составив уравнение на основании первого закона Кирхгофа: I = I1 + I2.
Правильность расчета мощностей проверяют по уравнению баланса мощностей: P = P1 + P2 + P3 + D P.
2. Каким будет напряжение на зажимах источника, при обрыве в цепи резистора R3?
Это будет режим холостого хода источника ЭДС, при котором U = E, т.к. ток I равен 0 и I r0 = 0.
3. Каким будет ток в цепи источника при коротком замыкании на его зажимах?
В режиме короткого замыкания U = 0 и ток источника ограничивается только его внутренним сопротивлением
Iкз = E / r0 = 78 / 0,5 = 156 А.
4. Как изменятся токи в схеме при увеличении R1?
При увеличении R1 увеличивается сопротивление параллельного участка схемы R12, поэтому увеличивается сопротивление Rэкв, что приводит к уменьшению тока I. При уменьшении I уменьшаются падения напряжения I R3 и I r0 и, в соответствии со вторым законом Кирхгофа, напряжение на разветвлении U12 = E — I (R3 + r0) возрастает, что приводит к увеличению тока в резисторе R2. Т.к. ток I уменьшается, а ток I2 возрастает, ток I1 = I — I2 уменьшается.
6.1.3. Расчет сложных цепей при помощи уравнений Кирхгофа
Задача 2. Рассчитать схему рис. 1.30, составив систему уравнений на основании законов Кирхгофа.
Исходные данные к задаче:
Анализ и решение задачи 2
1. Определение необходимого числа уравнений.
В схеме рис. 1.30 пять ветвей и для расчета токов в них надо составить пять уравнений. По первому закону Кирхгофа составляются уравнения для всех узлов, кроме одного (уравнение для него будет следствием предыдущих), по второму – для независимых контуров (в каждый последующий контур входит хотя бы одна ветвь, не вошедшая в ранее рассмотренные). Для данной схемы надо составить два уравнения по первому закону и три – по второму.
2. Составление и решение системы уравнений.
Для составления уравнений задаемся произвольно направлениями токов в ветвях и направлениями обхода контуров (рис. 1.30).
Подставив в уравнения численные значения величин, получим алгебраическую систему уравнений:
Решение системы дает значения токов: I1 = 1,093 А; I2 = 0,911 А; I3 = –0,506 А; I4 = 0,587 А; I5 = 0,405 А.
Дополнительные вопросы к задаче 2
1. Что означает минус перед численным значением тока I3?
Знак «–» говорит о том, что реальное направление тока в данной ветви противоположно принятому в начале расчета.
2. В каких режимах работают элементы схемы, содержащие источники ЭДС?
В ветвях с E1 и E2 токи совпадают по направлению с ЭДС, т.е. данные элементы работают источниками, отдавая энергию в схему; в ветви с ЭДС E3 ток направлен против ЭДС, т.е. данный элемент работает потребителем (например, машина постоянного тока в режиме двигателя).
3. Как проверить правильность решения задачи?
Для проверки правильности расчета можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы. Независимой проверкой является уравнение баланса мощностей: сумма мощностей источников равна сумме мощностей, расходуемых в резистивных элементах схемы. Т.к. элемент схемы с ЭДС может работать как в режиме источника, так и в режиме потребителя, соответствующее слагаемое в левой части уравнения берется с плюсом, если Е и I совпадают по направлению (источник), и с минусом, если направления противоположны (потребитель).
Мощности элементов схемы с ЭДС:
Мощности, расходуемые в резистивных элементах схемы:
I1 2 R1 + I2 2 R2 + I3 2 r03 + I4 2 R4+ I5 2 R5 = 1,093 2 * 20 + 0,911 2 * 50 + 0,506 2 * 5 + 0,587 2 * 65 + 0,405 2 * 85 = 103,01 Вт
S EI = S P Баланс мощностей сошелся, следовательно задача решена верно.
6.2. Практическое занятие №2.
Методы расчета сложных цепей
6.2.1. Вопросы для подготовки к занятиям
1. Назовите основные режимы работы электрических цепей и укажите на их особенности.
2. Поясните, что такое активный и пассивный двухполюсники?
3. В каком случае источники питания можно представить в виде «источника ЭДС» или «источника тока» ?
4. Чем объясняется наклон внешних характеристик источников ЭДС и тока при работе под нагрузкой?
5. В каком случае целесообразно использовать для расчета метод узлового напряжения и в чем его особенности?
6. Что такое «метод эквивалентного генератора»?
7. Как определить параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника) расчетным и экспериментальным путем?
6.2.2. Расчет цепи методом узлового напряжения
Задача 1. В схеме рис. 1.31 E1 = 60 В, E2 = 48 В, E3 = 6 В, R1 = 200 Ом, R2 = 100 Ом, r03 = 0,5 Ом, R3 = 9,5 Ом. Определить токи в ветвях схемы.
Анализ и решение задачи 1
1. Вычисление узлового напряжения. Для схемы с двумя узлами напряжение между ними можно подсчитать по формуле
,
где Еi – ЭДС i-й ветви, gi – ее проводимость 
.
Подставляем числовые значения:
В.
2. Расчет токов в ветвях
Токи определяем на основании закона Ома для ветви с источником: напряжение на зажимах источника равно его ЭДС минус падение напряжения на его внутреннем сопротивлении:
А;
А;
А.
Дополнительные вопросы к задаче 1
1. Как повлияет на порядок расчета изменение полярности ЭДС в одной из ветвей схемы?
В формуле узлового напряжения и при расчете тока в этой ветви данную ЭДС надо брать со знаком «минус».
2. В каких режимах работают источники схемы?
По результатам расчета Uab E3, т.к. в третьей ветви направлен против E3 и принятого перед началом расчета направления I3, т.е. этот элемент схемы работает в режиме потребления энергии.
3. В каких режимах будут работать источники, если за счет изменения величины ЭДС E3 увеличить узловое напряжение Uab до 48 В?
Увеличением E3 можно установить Uab = 48 В = E2, при этом ток I2 будет равен нулю (режим холостого хода), источник E1 вырабатывает энергию, E3 – потребляет. Ток в схеме и необходимую величину E3 определим на основании второго закона Кирхгофа:
А;
6.2.3. Расчет цепей методом эквивалентного генератора
Задача 2. В схеме рис. 1.32 E1 = 10 В, E2 = 25 В, R1 = 20 Ом, R2 = 40 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 6,36 Ом. Определить ток в ветви с резистором R4.
1. Заменим по отношению к ветви с резистором R4 всю остальную схему эквивалентным генератором (активным двухполюсником) с ЭДС Eэ и внутренним сопротивлением r0э (рис. 1.33, а). ЭДС Eэ определяется по результатам расчета режима холостого хода генератора как напряжение между точками «а» и «с» схемы рис. 1.32 при разомкнутой ветви с резистором R4.
После размыкания ветви с R4 получается схема с двумя узлами рис. 1.33, б. Узловое напряжение
В.
Ток в ветви с ЭДС E3
Для расчета напряжения между точками «а» и «с» в схеме рис. 1.33, б примем потенциал точки «а» равным нулю, тогда
2. Для расчета внутреннего сопротивления генератора в схеме рис. 1.33, б закорачиваются все ЭДС (рис. 1.33, в) и определяется сопротивление по отношению к точкам «а» и «с»:
; rоэ = 3,64 Ом
3. Ток в ветви с резистором R4 (схема рис. 1.33, а)
1. Как экспериментально определить параметры эквивалентного генератора?
Исходя из эквивалентности схем рис. 1.32, а и рис. 1.33, а, Eэ и r0э можно рассчитать по результатам двух опытов. Разомкнув ветвь с R4, измеряем напряжение между точками «с» и «а» Uxx, равное ЭДС Eэ, (опыт холостого хода). Для определения r0э проводится (если это допустимо) опыт короткого замыкания: заданная ветвь замыкается накоротко и измеряется ток в ней (Iк). При этом r0э = Eэ / Iк.
2. Выбрать величину сопротивления резистора R4 так, чтобы в нем выделялась максимально возможная мощность.
Для схемы рис. 1.33, а 
. Максимум мощности Р4 определяется решением уравнения 
: Rн.экстр = r0э, при этом 
Вт. Режим, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника, называется согласованным, он часто используется в маломощных электронных устройствах, когда КПД установки ( @ 50 %) не имеет существенного значения, но важно передать в нагрузку максимальную мощность (усилители напряжения, маломощные усилители мощности, линии связи и т.д.). При этом все устройство по отношению к нагрузке представляется в виде эквивалентного генератора, параметры которого определяются по результатам анализа работы и расчета устройства.
6.3. Практическое занятие №3
Самостоятельная работа студента
В процессе выполнения самостоятельной работы студент должен решить нижеприведенные задачи, используя результаты первого и второго практических занятий. Отчет о проделанной работе должен быть представлен преподавателю по форме, указанной в методических указаниях. В отчете привести ответы на вопросы, приведенные в первом и втором практических занятиях и решения нижеприведенных задач.
Задача 1. В схеме (рис. 1.34) R1 = R3 = 40 Ом, R2 = 20 Ом, R4 = 30 Ом, I3 = 5 А. Вычислить напряжение источника U и ток I4. Ответ: 900 В; 6,67 А.
Задача 2. В схеме (рис. 1.34) напряжение U = 65 В, напряжение на зажимах резистора R4 равно 20 В. Определить все токи в схеме, если R2 = 15 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 30 Ом. Ответ: I1 = I2 = 2 А; I3 = 1,5 А; I4 = 0,5 А.
Задача 3. В схеме (рис. 1.35) – R1 = 10 Ом, R2 = 5 Ом, R3 = 10 Ом, I3 = 2 А. Найти напряжение источника U. Ответ: 80 В.
Задача 4. К схеме (рис. 1.35) приложено напряжение U = 45 В, при этом ток источника I1 = 1,25 А. Сопротивления ветвей параллельной части схемы равны: R2 = 40 Ом, R3 = 10 Ом. Найти R1 и токи I2, I3. Ответ: R1 = 28 Ом, I2 = 0,25 А, I3=1 А.
Задача 5. В схеме (рис. 1.36) – R1 = 50 Ом, ток источника I = 0,6 А, ток в резисторе R3 равен I3 = 0,4 А, мощность, расходуемая в резисторе R4: P4 = 0,4 Вт; напряжение на резисторе R2: U2 = 36 В. Определить напряжение источника U. Ответ: U = 68 В.
Задача 6. Мощности, расходуемые в сопротивлениях схемы (рис. 1.36): P1 = 15 Вт, P2 = 20 Вт, P3 = 10,8 Вт, P4 = 7,2 Вт. Определить напряжения на участках схемы и токи в ее ветвях, если приложенное к ней напряжение U = 106 Вт. Ответ: I = 0,5 А; I3 = 0,3 А; I4 = 0,2 А; U1 = 30 В; U2 = 40 В; U = 36 В.
Задача 7. Для схемы (рис. 1.37) дано: R1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 60 Ом, R5 = 22 Ом, R6 = 5 Ом, E = 12 В. Вычислить ток в диагонали моста R4, используя преобразование треугольника резисторов R2, R3, R4 в эквивалентную звезду. Ответ: I4 = 0,077 А.
Задача 8. В схеме (рис. 1.37) определить ток источника, используя преобразование звезды резисторов R2, R4, R5 в эквивалентный треугольник, если R2 = 6 Ом, R3 = 42 Ом, R4 = 12 Ом, R5 = 24 Ом, R6 = 28 Ом, I3 = 0,5 А. Ответ: I = 2,75 А.
Задача 9. Для схемы (рис. 1.38) входные напряжения: U1 = +10 В, U2 = -15 В, U3 = +20 В, R1 = R2 = R3 = 500 Ом, Rн = 1000 Ом. Методом узлового напряжения определить выходное напряжение Uвых. Ответ: Uвых = 4,3 В.
Задача 10. В схеме (рис. 1.39) E1 = 120 В, E5 = 140 В, R1 = 70 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 135 Ом, R4 = 210 Ом, R5 = 140 Ом. Определить методом эквивалентного генератора величину и направление тока в резисторе R3. Ответ: I3 = 0,2 А.
Методы расчета цепей
Существует большое разнообразие цепей преобразующих ту или иную энергонесущую материю. Какова бы ни была энергонесущая материя (например, электрический ток), и в каком бы режиме ни функционировала преобразующая энергию цепь, существует ограниченный набор универсальных методов для их анализа и расчета. Цель расчета цепей состоит в уточнении величин токов и падений напряжения на элементах во всех режимах работы. Познакомимся с наиболее универсальными методами.
Каждое конкретное электрическое или электронное устройство описывается конкретной системой дифференциально-алгебраических уравнений. Сравнительный анализ большого количества математических описаний позволил выявить лишь три модели, которые признаны фундаментальными. Им соответствуют реально существующие, пассивные, преобразующие энергию элементы:
- R — активное сопротивление (резистор)
- L — реактивное сопротивление индуктивного характера (катушка)
- C — реактивное сопротивление емкостного характера (конденсатор)
- Произвольно назначают направления токов в ветвях.
- Произвольно назначают направления обхода контуров.
- Записывают У — 1 уравнение по I закону Кирхгофа. (У — число узлов в цепи).
- Записывают В — У + 1 уравнение по II закону Кирхгофа. (В — число ветвей в цепи).
- При составлении уравнений слагаемые берут со знаком «+» в случае, если направление обхода контура совпадает с направлением падения напряжения, тока или ЭДС. В противном случае со знаком «-«.
- Если при решении системы уравнений будут получены отрицательные токи, то выбранное направление не совпадает с реальным.
- Следует выбирать те контуры, в которых меньше всего элементов.
- последовательное соединение
- параллельное соединение
- соединение элементов звездой
- соединение элементов треугольником
- С помощью эквивалентных преобразований сводят схему к одному эквивалентному сопротивлению, подключенному к источнику.
- Уточняют первый неизвестный ток (потребляемый схемой от источника).
- С помощью обратных преобразований, постепенно восстанавливают схему, попутно уточняя неизвестные токи и напряжения.
- Контурные токи желательно направлять в одном направлении.
- Если требуется определить ток только в одной ветви, то этот ток целесообразно делать контурным.
- Если в схеме есть ветвь с известным током (например, с источником тока), то этот ток следует сделать контурным, в результате число уравнений уменьшится.
- Режим холостого хода.
- Номинальный (рабочий) режим.
- Режим короткого замыкания.
- Согласованный режим.
- Закон Ома — может быть применен для участка электрической цепи и полной электрической цепи.
- Закон Кирхгофа
Преобразование электрической энергии R, L и C элементами описывается законом Ома. Форма записи закона Ома индивидуальна для каждого элемента:
Закон Ома наглядно демонстрирует, как физические величины первого и второго рода (ток и напряжение) связаны свойством преобразующего энергию элемента, т.е. активным индуктивным или емкостным сопротивлением.
Насколько бы сложной ни была энергопреобразующая электрическая цепь, и каким бы методом мы не пользовались для ее расчета — системы уравнений всегда составляются на основе этих формул. Существует большое количество чисто математических приемов, которые позволяют рассчитывать цепи (в том числе с L и C элементами) не прибегая к дифференциальному исчислению.
Законы Кирхгофа
Законы Кирхгофа являются вариантом формулировки постулатов о сохранении материи и энергетического потенциала для электрических энергопреобразующих цепей. Введем определения.
Узел электрической цепи Место соединения трёх и более ветвей. В схемах электрических принципиальных обозначается точкой. Ветвь электрической цепи Участок электрической цепи, содержащий только последовательно включённые элементы. Контур электрической цепи Замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей электрической цепи.
I закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд не может ни накапливатся, ни убывать. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.
Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма токов в узлах равна нулю.
Для цепей переменного тока геометрическая сумма токов в узлах равна нулю.
II закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.
Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.
Для цепей переменного тока геометрическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.
Опираясь на законы Ома и Кирхгофа можно рассчитать абсолютно любую электрическую цепь. Другие методы расчета цепей разработаны исключительно для уменьшения объема требуемых вычислений.
Правильность расчетов можно проверить, составив баланс мощностей. В электрической цепи сумма мощностей источников питания равна сумме мощностей потребителей:
Следует помнить, что тот или иной источник схемы может не генерировать энергию, а потреблять ее (процесс зарядки аккумуляторов). В таком случае направление тока, протекающего по участку с этим источником, встречное направлению ЭДС. Источники в таком режиме должны войти в баланс мощностей со знаком «-«.
Эквивалентные преобразования электрических цепей
Разнообразие и сложность преобразующих электрическую энергию схем мнимые. Существуют лишь четыре способа соединения электрических элементов:
Основные принципы и свойства линейных цепей
Все методы расчета цепей были разработаны на базе фундаментальных принципов функционирования энергопреобразующих цепей и их общих свойств. Познакомимся с их сутью:
Принцип суперпозиции
Действие любого количества источников электрической энергии на линейную электрическую цепь независимо. Ток в любой ветви схемы равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым источником в отдельности.
Принцип компенсации
Любой пассивный участок цепи (ветвь или ее часть) с известным напряжением может быть замещён источником ЭДС соответствующего номинала, а любая ветвь цепи с известным током может быть замещена источником тока той же величины. Режим работы оставшихся элементов при этом не изменится.
Принцип взаимности
Для любой линейной электрической цепи ток, протекающий в какой-то k-той ветви, который вызван действием ЭДС, находящейся в ветви m, будет равен току, протекающему в ветви m, вызванному действием ЭДС, находящейся в ветви k, которая численно равна первой ЭДС.
Электрические цепи, для которых этот принцип не соблюдается, называются необратимыми цепями. К ним относятся нелинейные цепи.
Свойство однозначности состояния
Линейные электрические цепи обладают свойством однозначности электрического состояния всех элементов.
Режимы работы цепей
Многие методы расчета цепей в своей основе опираются на особые, часто встречающиеся и легко идентифицируемые техническими средствами режимы работы энергопреобразующих цепей. Познакомимся с ними:
Режим холостого хода
Режим короткого замыкания
Режим номинальной работы
Режим согласованной работы
Эквивалентные замены E и J
Достаточно часто, до использования того или иного метода расчета цепей требуется несущественная предварительная трансформация электрической схемы, которая заключается в эквивалентной замене всех источников тока источниками ЭДС или наоборот. Познакомимся с сутью этих трансформаций:
Метод эквивалентных преобразований
Метод эквивалентных преобразований используется в случае, если цепь содержит лишь один источник электрической энергии. Если это не так, то можно пользоваться принципом суперпозиции, однако придется повторить расчеты столько раз, сколько источников содержит цепь (в таких случаях другие методы потребуют меньше вычислений).
Метод пропорциональных величин
Метод эквивалентного генератора
Метод двух узлов
Метод контурных токов
Метод применяется в тех случаях, когда число уравнений, которые должны быть записаны для электрической цепи на основании II-го закона Кирхгофа, меньше, чем число уравнений, которые должны быть записаны на основании I-го закона Кирхгофа.
При расчёте методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют и решают относительно контурных токов. Токи в смежных ветвях уточняют по принципу суперпозиции. Число неизвестных в методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить по II закону Кирхгофа.
-
Выбор К контуров с минимальным количеством элементов (К = В — У + 1).
Рекомендации к применению метода:
Линейные цепи постоянного тока
Простейшая электрическая цепь
Электрическая цепь – совокупность электротехнических устройств, обеспечивающий замкнутый контур для электрического тока (направленное движение заряженных частиц).
Ток: 
– количество электричества через единицу площади поперечного сечения за единицу времени – постоянный ток.
– мгновенное значение тока – переменный ток.
Напряжение – работа, совершаемая электрическим полем по перемещению заряда от точки высшего потенциала к точке нижнего потенциала.
Основными элементами цепи являются: источники, потребители, соединительные провода, измерительные приборы, коммутационный аппарат.
Источник – устройство, преображающее различные виды энергии в электрическую.
Основной вид – генератор: преобразует механическую энергию в электрическую.
Гальванический элемент (батарея): преображает энергию химической реакции в электрическую.
Каждый источник характеризуется тремя параметрами:
ЭДС источника [E] – работа сторонних сил по перемещению заряда от точки низшего потенциала к точке высшего потенциала.
Внешнее сопротивление источника [ro].
КПД источника [η]:
Напряжение нагрузки: U12 = U34; 
; U=E – ΔU; E=Ir + Ir0.
Следует помнить, что мы рассматриваем только источники напряжения!
мощность потерь в самом источнике 
Потребители – устройства, преобразующие электрическую энергию в другие.
электрическую энергию в механическую.
электрическую энергию в тепловую (печи сопротивления, нагревательные печи).
электрическую энергию в световую и тепловую ( электрическая лампа).
Соединительные провода характеризуются сопротивлением: 
Измерительные приборы: амперметр включают с нагрузкой:
Напряжение измеряется вольтметром, который включается параллельно нагрузке. Сопротивление обмотки должно быть больше, чем сопротивление нагрузки.
Активная мощность имеет токовую обмотку и обмотку напряжения, начала которых соединены в одну точку.
Коммутационный аппарат: замыкает и размыкает цепь.
Режимы работы электрической цепи
1. Режим холостого хода
Желательно исключить такие режимы.
2. Номинальный режим
Это тот режим , для которого и предназначена электрическая цепь. В этом режиме она может работать сколь угодно долго, и температура всех элементов цепи не будет превышать допустимого значения.
3. Режим короткого замыкания
Это аварийный режим.
4. Режим согласованный
Это режим, при котором во внешней цепи передается максимальная активная мощность при заданной мощности источника.
Методы расчета линейных цепей постоянного тока
Основные законы электрических цепей:
Узел электрической цепи – точка, в которой сходятся не менее трех токов.
Ветвь электрической цепи – участок цепи, составленный последующим соединением из сопротивлений, источников, на которых протекает один и тот же ток.
Ветвь – это участок цепи между двумя узлами.
I закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов сходится в одном узле и равна нулю.
II закон Кирхгофа: В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех участках этого контура. При составлении уравнений условно задаются направлением обхода контура. И ЭДС, совпадающая с обходом контура, берется со знаком «+», а не совпадающая – со знаком «-«.
При симметрии падений напряжений те напряжения, на участке которых ток совпадает с направлением обхода, берутся со знаком «+», а те напряжения, на участке которых ток не совпадает с направлением обхода, соответственно со знаком «-«.
Расчет простейших цепей
Простейшей цепью называется цепь, содержащая один источник питания.
Рассмотрим виды соединения простейших электрических цепей.
1) Последовательное соединение потребителей (резисторов)
По II закону Кирхгофа:
, EI=I 2 ·rЭКВ – условие баланса цепей.
2) Параллельное соединение потребителей (резисторов)
По I закону Кирхгофа:·
3) Смешанное соединение
Расчет сложных электрических цепей
Сложной электрической цепью называется цепь, содержащая несколько источников энергии, несколько контуров.
Метод по уравнениям Кирхгофа – универсальный метод расчета сложных электрических цепей.
Считаются заданными значения всех ЭДС источников и значения всех сопротивлений. Нужно определить токи. Для этого:
1. Определить число ветвей (число токов) – n;
2. Определить число узлов – m;
3. Условно задать направление токов в ветвях и составить (m-1) уравнений;
4. Определить необходимое число уравнений (по II закону Кирхгофа) и выбрать соответствующее число замкнутых контуров n-(m-1).
5. Выбрать условное направление обхода контуров, составить необходимое число уравнений по II закону Кирхгофа;
6. Решить полученную систему уравнений и определить все токи. Если в результате токи получились со знаком +, то направление было выбрано правильно.