Законы де моргана для трех переменных

Упрощение логических формул

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул:


  1. (законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами);

  2. (применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией);

  3. (повторяется второй сомножитель, что разрешено законом идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания);

  4. (вводится вспомогательный логический сомножитель ( ); затем комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и используется закон поглощения);

  5. (сначала добиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания);

  6. (выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с константами);

  7. (к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания);

  8. (общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках — первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией);

  9. (используются распределительный закон для дизъюнкции, правило операции переменной с ее инверсией, правило операций с константами, переместительный закон и распределительный закон для конъюнкции);

  10. (используются правило де Моргана, закон двойного отрицания и закон поглощения).

Из этих примеров видно, что при упрощении логических формул не всегда очевидно, какой из законов алгебры логики следует применить на том или ином шаге.

Использование элементов алгебры логики при решении заданий ЕГЭ по информатике

Организационная часть урока.

На экране:

“Всё наше достоинство заключено в мысли. Не пространство, не время, которые мы не можем заполнить, возвышает нас, а именно она, наша мысль. Будем же учиться хорошо мыслить”.

Французский математик и философ XVII века Блез Паскаль.

Завершаем тему “Основы логики”, сегодня вспомним основные логические операции, законы логики и правила преобразования, применим их на практике.

Логика – наука о формах и способах мышления.

1 часть урока: актуализация опорных знаний.

Вспоминаем элементы алгебры логики.

На экране высвечиваются вопросы, после ответов учеников правильные ответы:

1. Перечислите логические операции в порядке старшинства:

2. Какие законы логики имеют аналоги в обычной алгебре?

3. В чем смысл закона двойного отрицания?

Двойное отрицание исключает отрицание.

4. Законы де Моргана.

Называют законами общей инверсии.

Отрицание дизъюнкции является конъюнкцией отрицаний.

Отрицание конъюнкции является дизъюнкцией отрицаний.

5. Закон идемпотентности.

Дословно переводится (равносильный)

A V A = A
A & A = A

6. В чём смысл закона исключения третьего?

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же одно всегда истинно, второе ложно, третьего не дано.

7. О чём закон непротиворечия?

Не могут быть одновременно истинны утверждение и его отрицание.

8. Закон исключения констант.

Для логического сложения:

A V 1 = 1 A V 0 = A

A & 1 = A A & 0 = 0

9. Как выразить импликацию через дизъюнкцию?

2 часть урока: примение логических операций и законов на практике: при решении задач и примеров из сборника тренировочных заданий ЕГЭ [4].

1.72 Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква имени гласная —> Четвертая буква имени согласная)

1) ЕЛЕНА
2) ВАДИМ
3) АНТОН
4) ФЕДОР

Сложное высказывание состоит из двух простых высказываний:

А — первая буква имени гласная,

В — четвертая буква имени согласная

Ученик работает у доски, остальные в тетрадях, на экране показывается правильное решение по шагам:

1. Импликация через дизъюнкцию.

2. Закон де Моргана.

3. Закон двойного отрицания.

Ответ: (Первая буква имени гласная & Четвертая буква имени гласная)

Задание идёт в первой части тестов ЕГЭ под буквой А. Выбираете только № правильного ответа: 3.

Составить таблицу истинности для формулы

Что должны сделать в первую очередь?

Покажите порядок выполнения логических операций:

Вы будете составлять таблицу истинности.

Работа в режиме диалога “учитель — ученики”

Сколько строк будет в вашей таблице?

3 переменных: А, В, С; 2 3 =8

5 операций + 3 переменных = 8

Как я вас учила автоматически не задумываясь заполнять значения переменных А, В, С?

Если одна переменная, то 2 возможных значения: 0 и 1.

При 2 переменных, колонку 0 1 повторяем вниз, впереди ставим 0 0 1 1. При трёх переменных повторяем ниже все значения, впереди ставим в первой половине 0, во второй половине 1.

Заготовки раздать ученикам, чтобы не теряли времени на оформление, быстрее заполняли.

Самостоятельная работа. Для тех, кто сделает быстро, подготовлены карточки с дополнительным заданием (см. Приложение1).

Какие ответы получились в последнем столбце? Правильный ответ: 1.

Логическое выражение называется тождественно-истинным, если оно принимает значения 1 на всех наборах входящих в него простых высказываний.
Тождественно-истинные формулы называют тавтологиями.

Слово тавтология вы встречали, где? Ученики вспоминают.

На экране: Из словаря иностранных слов:

Тавтология (в переводе с греческого tauto – то же самое + logos – слово). Повторение того же самого другими словами.

Тавтология широко используется как стилистический и художественный приём в народном творчестве и поэзии. Мы заставим здесь природу поклониться нам поклоном до земли. (Исаковский). “Поклониться поклоном” — явная тавтология. В речи следует избегать тавтологий без стилистических задач.

Есть специальные федеральные тесты для вступительных экзаменов по информатике. В этих тестах много заданий по логике, в том числе такого содержания: тождественно истинными (тавтологиями) являются формулы: и даны 4 сложные формулы. Для того, чтобы правильно ответить, надо для каждой формулы построить таблицу истинности, то что мы с вами сделали. Это занимает много времени. Иногда быстрее бывает решить задачу аналитическим методом.

Решим пример аналитическим методом: упрощаем выражение.

Ученик работает у доски, на экране высвечивается правильное решение по шагам:

3 часть урока: примение логических функций на практике: информационные технологии.

При изучении каких разделов информатики встречали логические функции?

Ученики вспоминают, на экране расширенная информация по каждому последующему пункту.

  1. Microsoft Excel
  2. Логические операции в Turbo Pascal
  3. Поиск информации в сети Интернет.

Задание 2.34 из сборника ЕГЭ [4]

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдёт поисковый сервер по каждому запросу.

Основные теоремы и положения алгебры логики

Запишем алгоритм выполнения операций ИЛИ и И, расположив строки таблицы для операции И в обратном порядке – снизу вверх:

Если в этих таблицах переменные заменить их инверсиями, а знаки дизъюнкции на знаки конъюнкции и наоборот, то алгоритмы меняются местами. Таблица истинности для ИЛИ становится таблицей истинности для И и наоборот.

В этом состоит принцип двойственности, который в общем виде записывается так:

, .

Для любого числа переменных это правило, называемое еще теоремой де Моргана, имеет вид:

.

На практике принцип двойственности приводит к тому, что логический элемент, выполняющий в положительной логике операцию И, в случае отрицательной логики будет выполнять операцию ИЛИ.

Для преобразования выражений алгебры логики с целью их упрощения или приведения к удобному виду используются, как и в обычной алгебре, скобки, а если их нет, то сначала выполняется отрицание (инверсия) над отдельными переменными, затем логическое умножение (конъюнкция), затем логическое сложение (дизъюнкция). Если же знак инверсии расположен над целым выражением, то она выполняется в последнюю очередь.

В алгебре логики используется целый ряд теорем.

Теоремы для одной переменной:

A \/ 0 = A 4. A \/ Ā = 1 7. A · A = A

2. A \/ 1 = 1 5. A · 0 = 0 8. A · Ā = 0

3. A \/ A = A 6. A · 1 = 1 9.

Теоремы для двух и более переменных:

10. а) A \/ B = B \/ A, б) AB = BA

переместительный закон, означает, что все входы логического элемента равнозначны.

11. а) A \/ B \/ C = A \/ (B \/ C) = (A \/ B) \/ C,

б) ABC = A(BC) = (AB)C – сочетательный закон.

12. а) A (B \/ C) = AB \/ AC, б) A \/ BC = (A \/ B)(A \/ C) – распределительный закон.

Данная теорема и все последующие вытекают из принципа двойственности. Применим его к выражению 12, а:

– левая часть,

– правая часть.

Введя новые обозначения: , получим обозначения: , а это и есть теорема 12, б.

13. а) A \/ AB = A, б) A(A \/ B) = A

– закон поглощения (A поглощает B).

Доказательство 13, а:

A \/ AB = A(1 \/ B) = A · 1 = A, (используя теоремы 2, 6).

Теорема 13, б следует из принципа двойственности.

14. а) , б) .

, (используя теоремы 8 и 1).

Теорема 14, б следует из принципа двойственности.

15. а) AB \/ ĀB = B, į) (A \/ B)(Ā \/ B) = B, закон склеивания (склеивание по A).

Доказательство 15, а:

AB \/ ĀB = B(A \/ Ā) = B · 1 = B, (используя теоремы 4 и 6).

Теорема 15, б следует из принципа двойственности.

Мало ли что я обещал гоям?
Российскую пенсию будут получать только израильтяне!
Мой кошелёк — Минц всё равно уже вывез деньги ПФ за рубеж.

Где деньги на пенсии? Как врёт правительство?

Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Закон

Формулировка

1. Закон тождества

Всякое высказывание тождественно самому себе.

2. Закон исключенного третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Следовательно, результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение “истина”.

3. Закон непротиворечия

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание Х истинно, то его отрицание НЕ Х должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно.

4. Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате получим исходное высказывание.

5. Переместительный (коммутативный) закон

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

6. Сочетательный (ассоциативный) закон

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

5. Распределительный (дистрибутивный) закон

(X /\ Y) \/ Z= (X /\ Z) \/ (Y /\ Z)

(X /\ Y) \/ Z = (X \/ Z) /\ (Y \/ Z)

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

7. Закон общей инверсии Закон де Моргана

Закон общей инверсии.

8. Закон равносильности (идемпотентности)

от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный

Тема : Преобразование логических выражений. Формулы де Моргана

Главная > Документ

© К. Поляков, 2009-2010

A10 (базовый уровень, время – 1 мин)

Тема: Преобразование логических выражений. Формулы де Моргана.

К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,, ¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает и . Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (,, ¬), что еще раз подчеркивает проблему.

Что нужно знать:

условные обозначения логических операций

¬ A, не A (отрицание, инверсия)

A B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

AB импликация (следование)

операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:

AB = ¬ A B или в других обозначениях AB =

если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»

правила преобразования логических выражений (слайд из презентации «Логика»):

фактически это задание на применение законов де Моргана (хотя об этом нигде не говорится):

¬ (A B) = ¬ A ¬ B

¬ (A B) = ¬ A ¬ B

Пример задания:

Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A ¬(¬B C).

Решение (вариант 1, использование законов де Моргана):

перепишем заданное выражение и ответы в других обозначениях:
заданное выражение
ответы: 1) 2) 3) 4)

посмотрев на заданное выражение, видим инверсию (операцию «НЕ») для сложного выражения в скобках, которую раскрываем по формуле де Моргана,

а затем используем закон двойного отрицания по которому :

таким образом, правильный ответ – 3 .

Возможные ловушки и проблемы:

серьезные сложности представляет применяемая в заданиях ЕГЭ форма записи логических выражений с «закорючками», поэтому рекомендуется сначала внимательно перевести их в «удобоваримый» вид; при этом сразу становится понятно, что ответы 1 и 2 заведомо неверные

при использовании законов де Моргана часто забывают, что нужно заменить «И» на «ИЛИ» и «ИЛИ» на «И» (возможный неверный ответ )

расчет на то, что при использовании законов де Моргана инверсия сложного выражения по ошибке «просто пропадет», и все сведется к замене «ИЛИ» на «И» (неверный ответ )

иногда для решения нужно упростить не только исходное выражение, но и заданные ответы, если они содержат импликацию или инверсию сложных выражений

Решение (вариант 2, через таблицы истинности, если забыли формулы де Моргана):

перепишем заданное выражение в других обозначениях:
заданное выражение
ответы: 1) 2) 3) 4)

для доказательства равносильности двух логических выражений достаточно показать, что они принимают равные значения при всех возможных комбинациях исходных данных; поэтому можно составить таблицы истинности для исходного выражения и всех ответов и сравнить их

здесь 3 переменных, каждая из которых принимает два возможных значения (всего 8 вариантов, которые в таблице истинности записывают по возрастанию двоичных кодов – см. презентацию «Логика»)

исходное выражение истинно только тогда, когда и , то есть только при . (в таблице истинности одна единица, остальные – нули)

выражение истинно, если хотя бы одна из переменных равна нулю, то есть, оно будет ложно только при (в таблице истинности один нуль, остальные – единицы)

аналогично выражение ложно только при , а в остальных случаях – истинно

выражение истинно только при , а в остальных случаях – ложно

выражение истинно только при , а в остальных случаях – ложно

объединяя все эти результаты в таблицу, получаем:

История науки и техники Com New

Основные законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

В алгебре логики имеются законы, которые записываются в виде соотношений. Логические законы позволяют производить равносильные (эквивалентные) преобразования логических выражений. Преобразования называются равносильными, если истинные значения исходной и полученной после преобразования логической функции совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.

Для простоты записи приведем основные законы алгебры логики для двух логических переменных А и В. Эти законы распространяются и на другие логические переменные.

1. Закон противоречия:

2. Закон исключенного третьего:

3. Закон двойного отрицания:

4. Законы де Моргана:

5. Законы повторения: A & A = A; A v A = A; В & В = В; В v В = В.

6. Законы поглощения: A ? (A & B) = A; A & (A ? B) = A.

7. Законы исключения констант: A ? 1 = 1; A ? 0 = A; A & 1 = A; A & 0 = 0; B ? 1 = 1; B ? 0 = B; B & 1 = B; B & 0 = 0.

8. Законы склеивания:

9. Закон контрапозиции: (A ? B) = (B ? A).

Для логических переменных справедливы и общематематические законы. Для простоты записи приведем общематематические законы для трех логических переменных A, В и С:

1. Коммутативный закон: A & B = B & A; A ? B = B ? A.

2. Ассоциативный закон: A & (B & C) = (A & B) & C; A ? (B ? C) = (A ? B) ? C.

3. Дистрибутивный закон: A & (B ? C) = (A & B) ? (A & C).

Как уже отмечалось, с помощью законов алгебры логики можно производить равносильные преобразования логических выражений с целью их упрощения. В алгебре логики на основе принятого соглашения установлены следующие правила (приоритеты) для выполнения логических операций: первыми выполняются операции в скобках, затем в следующем порядке: инверсия (отрицание), конъюнкция ( & ), дизъюнкция (v), импликация (?), эквиваленция (?)

Выполним преобразование, например, логической функции

применив соответствующие законы алгебры логики.

Законы де моргана для трех переменных

§ 3. Законы алгебры логики

Итак, мы познакомились с понятием логического выражения и увидели, каким образом его строить по высказыванию на русском языке. Следующий шаг – изучение преобразований логических выражений.

Логические выражения, зависящие от одних и тех же логических переменных, называются равносильными, если на любом наборе значений переменных они принимают одинаковое значение (`0` или `1`). В дальнейшем для обозначения равносильности логических выражений мы будем использовать знак равенства.

это некоторые стандартные преобразования логических выражений, при которых сохраняется равносильность. Начнём с самых простых законов:

1) Законы поглощения констант

2) Законы поглощения переменных

3) Законы идемпотентности

4) Закон двойного отрицания

5) Закон противоречия

6) Закон исключённого третьего

Приведённые законы ещё называют аксиомами алгебры логики. Истинность этих и всех последующих законов легко можно установить, построив таблицу истинности для левого и правого логического выражения.

Переходим к группе законов, которые практически аналогичны законам алгебры чисел.

7) Законы коммутативности

Здесь стоит сделать замечание, что помимо конъюнкции и дизъюнкции свойством коммутативности также обладают эквивалентность и строгая дизъюнкция. Импликация – единственная из изучаемых операций, которая имеет два операнда и не обладает свойством коммутативности.

8) Законы ассоциативности

(x & y) & z = x & (y & z),

(x`vv`y) `vv` z = x `vv` (y `vv` z);

9) Законы дистрибутивности

Первый из законов дистрибутивности аналогичен закону дистрибутивности в алгебре чисел, если конъюнкцию считать умножением, а дизъюнкцию – сложением. Второй же закон дистрибутивности отличается от алгебры чисел, поэтому рекомендуется обратить на него особое внимание и в дальнейшем использовать при решении задач на упрощение выражений.

Кроме аксиом и алгебраических свойств операций ещё существуют особые законы алгебры логики.

10) Законы де Моргана

`bar(x & y)= barx vv bary` ,

11) Загоны поглощения (не путать с аксиомами поглощения переменных нулём или единицей)

Рассмотрим пример доказательства первого закона де Моргана при помощи построения таблицы истинности.

Так как результирующие столбцы совпали, то выражения, стоящие в левой и правой частях закона, равносильны.

В алгебре при решении задач на упрощение выражений большой популярностью пользовалась операция вынесения общего множителя за скобки. В алгебре логики эта операция также является легитимной, благодаря законам дистрибутивности и закону поглощения константы `1`. Продемонстрируем этот приём на простом примере: докажем первый закон поглощения, не используя таблицу истинности.

Наше начальное выражение: x `vv` (x & y) . Выносим x за скобки и получаем следующее выражение:

x &(1 `vv` y) . Используем закон поглощения переменной константой `1` и получаем следующее выражение: x & 1. И теперь используем закон поглощения константы и получаем просто x .

В заключение, следует сказать несколько слов об операции импликации. Как уже отмечалось выше, импликация не обладает свойством коммутативности. Её операнды неравноправны, поэтому каждый из них имеет уникальное название. Левый операнд импликации называется посылкой, а правый – следствием. Из таблицы истинности импликации следует, что она истинна, когда истинно следствие, либо ложна посылка. Единственный случай, когда импликация ложна – это случай истинной посылки и ложного следствия. Таким образом, мы подошли к последнему закону алгебры логики, который бывает полезен при упрощении выражений.

12) Закон преобразования импликации

Необходимо ещё отметить, что в сложных логических выражениях у операций есть порядок приоритетов.

3) Дизъюнкция, строгая дизъюнкция, эквивалентность

Смотрите еще:

  • Сложности в работе адвоката Специальность адвокат: сложности и преимущества Выбрав профессию адвоката, можно добиться и благосостояния, и известности, и личностной самореализации. Однако подходит эта специальность далеко не всем людям. Она требует достаточно […]
  • Москва уборщица с проживанием Уборщица с проживанием Вакансия 396001 Просмотров: 855 Требования к соискателю и условия труда: Уборка территории производства Работа с бесплатным предоставлением проживания в общежитии График работы 6/1, выходной плавающий спец. одежда […]
  • Когда закрыть расчетный счет при ликвидации Закрытие расчетного счета при ликвидации ООО Если вы собрались прекратить деятельность своей компании, важно вовремя решить вопрос с банковским счетом. Давайте узнаем, когда закрывать расчетный счет при ликвидации ООО. Любая деятельность […]
  • Правила как стать крутой И показатели крутости для девушки в период особого роста, скорее всего, будут слизаны с модных на данный момент кинозвезд, героев сериала или шоу-бизнеса. Здесь главное не потерять себя. Как стать самой крутой в классе? Это не значит, […]
  • Работа на судах матросом Работа на корабле дальнего плавания Работа на кораблях дальнего плавания привлекает очень большое количество людей, которые готовы проводить в море большую часть своего времени. Многие думают, что работать на кораблях дальнего плавания […]
  • Как уменьшить растаможку Как растаможить автомобиль? Данным вопросом интересуются многие автолюбители, которые планируют приобрести новый или поддержанный автомобиль за границей, а затем переправить в нашу страну. Преимуществ такого способа покупки достаточно, […]
  • Как делить наследство мужа Как разделить наследство между женой и детьми Самыми близкими людьми для каждого мужчины-семьянина являются жена и дети. Именно они становятся наследниками его собственности в случае смерти. В этой статье мы рассмотрим, как делится […]
  • Скажите что такое налоги Виды налогов Налог - обязательный индивидуальный безвозмездный платеж, принудительно взимаемый органами власти с юридических или физических лиц, с целью финансирования деятельности государства или муниципальных образований. Выполняют […]