Правила преобразования чисел

Учебный комплекс «Вычислительная техника»

Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую: перевод целых чисел.

Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием d1 в другую с основанием d2 необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d2 новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания d2. Последнее частное – старшая цифра числа в новой системе счисления с основанием d2, а следующие за ней цифры — это остатки от деления, записываемые в последовательности, обратной их получению. Арифметические действия выполнять в той системе счисления, в которой записано переводимое число.

Пример 1. Перевести число 11(10) в двоичную систему счисления.


Ответ: 11(10)=1011(2).

Пример 2. Перевести число 122(10) в восьмеричную систему счисления.


Ответ: 122(10)=172(8).

Пример 3. Перевести число 500(10) в шестнадцатеричную систему счисления.


Ответ: 500(10)=1F4(16).

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую: перевод правильных дробей.

Чтобы перевести правильную дробь из системы счисления с основанием d1 в систему с основанием d2, необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание новой системы счисления d2. Правильная дробь числа в новой системе счисления с основанием d2 формируется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.
Если при переводе получается дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда, процесс можно закончить при достижении необходимой точности.

При переводе смешанных чисел, необходимо в новую систему перевести отдельно целую и дробную части по правилам перевода целых чисел и правильных дробей, а затем оба результата объединить в одно смешанное число в новой системе счисления.

Пример 1. Перевести число 0,625(10) в двоичную систему счисления.


Ответ: 0,625(10)=0,101(2).

Пример 2. Перевести число 0,6(10) в восьмеричную систему счисления.


Ответ: 0,6(10)=0,463(8).

Пример 2. Перевести число 0,7(10) в шестнадцатеричную систему счисления.


Ответ: 0,7(10)=0,В333(16).

Перевод двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в десятичную систему счисления.

Для перевода числа P-ичной системы в десятичную необходимо использовать следующую формулу разложения:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Пример 1. Перевести число 101,11(2) в десятичную систему счисления.


Ответ: 101,11(2)= 5,75(10) .

Пример 2. Перевести число 57,24(8) в десятичную систему счисления.


Ответ: 57,24(8) = 47,3125(10) .

Пример 3. Перевести число 7A,84(16) в десятичную систему счисления.


Ответ: 7A,84(16)= 122,515625(10) .

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления и обратно.

Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать трехразрядным двоичным числом (триадой).

Пример: записать число 16,24(8) в двоичной системе счисления.


Ответ: 16,24(8)= 1110,0101(2) .

Для обратного перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления, необходимо исходное число разбить на триады влево и вправо от запятой и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняют нулями.

Пример: записать число 1110,0101(2) в восьмеричной системе счисления.


Ответ: 1110,0101(2)= 16,24(8) .

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать четырехразрядным двоичным числом (тетрадой).

Пример: записать число 7A,7E(16) в двоичной системе счисления.

Ответ: 7A,7E(16)= 1111010,0111111(2) .

Примечание: незначащие нули слева для целых чисел и справа для дробей не записываются.

Для обратного перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления, необходимо исходное число разбить на тетрады влево и вправо от запятой и представить каждую группу цифрой в шестнадцатеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняют нулями.

Пример: записать число 1111010,0111111(2) в шестнадцатеричной системе счисления.


Ответ: 1111010,0111111(2)= 7A,7E(16) .

Инструкция по эксплуатации
1). Вводим десятичное число от 1 до 3999999 в едитбокс озаглавленый как «Исходное число».
2). Нажимаем кнопку Преобразовать.
3). Наслаждаемся красотой римских цифр справа от надписи «Результат».

Мат часть
Однажды, меня заинтересовала идея преобразования обычных арабских чисел в римские. Да, до десяти умеет переводить каждый школьник, а вот дальше? Даже альбом у замечательной группы Enigma есть озаглавленный римским числом. И я начал копать.

О преобразовании. Римские цифры это непозиционная система исчесления, то есть всё исчесление идет не от разряда цифры, как в обычной десятичной системе, а непосредственно по значению цифры. Цифр в римской системе всего 7 вот они:

Из этих цифр и составляются все числа. Если цифра стоящая слева от данной цифры меньше её, то она вычитаеться из данной цифры (принцип вычитания). Если больше то складывается (принцип сложения). Например XLVII = XL (40 = 50 — 10) + V (5) + II (2) = 47. Но есть одно исключение. Если мы возьмем число 99 и попытаемся перевести, мы в лоб возьмем 100 (С) и вычтем из ста единицу, то есть получается IC. Удобно, компактно, но не правильно. В класической системе римских цифр число стоящее справа (то есть из которого вычитается) должно быть не больше чем, то что слева умноженное на десять. То есть то же число 99 надо переводить буквально XC(90 = 100 — 10) + IX (9 = 10 — 1) = XCIX. То есть 49 нельзя записывать как IL, только как LXIX. Есть ещё одно правило. Нельзя делать повторения четырёх цифр подряд (исключение составляет цифра четыре, которую изображают в часах как IIII для лучшего восприятия), то есть число 40 нельзя записывать как XXXX, а только как LX. Из всех этих правил вытекает, что максимальное число, которое можно записать римскими цифрами есть MMMCMXCIX = 3999. Но не стоит отчаиваться! Этруски, которые вроде бы придумали рисмские цифры, были умными ребятами и сделали хитро — число подчеркнутое палочкой сверху означает количество тысяч. То есть 4000 нужно записывать как IV . Всё просто.

Отсюда сразу вытекает алгоритм действия:

  • Если число больше или равно 4000 то делим нацело на 1000 и получаем количество тысяч, заосвываем их в этот же алгоритм, что бы вычислить как они выглядят в римских цифрах и их подчеркнуть сверху. И вычитаем из исходного числа эти тысячи. Если меньше то
  • Берём разряд тысяч и переводим в римский эквивалент. Вычитаем их из числа.
  • Берём разряд сотен и переводим в римский эквивалент. Вычитаем их из числа.
  • Дальше также поступаем с десятками и единицами.
  • Повторяем все эти действия пока не вычтеться всё.
  • Ну и полученые цифрки выводим как положено — тысячи подчеркнутые сверху (если их много, если нет, то нужное количество М) и обычным стилем все остальные буквы которые у нас получились.

Коментарий к исходникам
Чуть ниже представлены ссылки на реализацию рассказанного здесь алгоритма. Хочется сказать про них пару слов.
Функция которая реализует непосредственно конвертацию называется digConvert() в которую передаётся целое число, а на выходе получается строка содержащая либо «err» в случае неудачно конвертации, либо строку с конвертированным римским числом. Если переданное число больше чем 3999, то в итоге получается число подчеркнутое сверху и часть которая неподчеркнута. Функция возвращает оба значения через амперсант (&). Это необходимо, что бы в функцие обработчике нажатия кнопки, разделить обе части, с помощью метода строки split(), который на входе получает по какому символу её нужно разделить, а на выходе выдаёт массив разделённых элементов. Для реализации подчеркивания используется следующий способ

Код HTML:
Этот текст будет подчеркнут сверху

Результат: Этот текст будет подчеркнут сверху

Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.

Система счисления — это способ записи (представления) чисел.

Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.

Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.

Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.

Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

Оглавление:

Непозиционные системы

Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.

Единичная система счисления

Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.
Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.

Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система

В Древнем Египте использовались специальные символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Вот некоторые из них:

Почему она называется десятичной? Как писалось выше — люди стали группировать символы. В Египте — выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ — представление числа 10 в какой-то степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих
символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:

Вавилонская шестидесятеричная система

В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин — для обозначения единиц и “лежачий” — для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения — в позиционной с основанием 60. Число 92:

Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Теперь число 3632 следует записывать, как:

Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система

Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

Методы определения значения числа:

  1. Значение числа равно сумме значений его цифр. Например, число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
  2. Если слева от большей цифры стоит меньшая, то значение равно разности между большей и меньшей цифрами. При этом, левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) — только C(100), перед V(5) — только I(1); число 444 в рассматриваемой системе счисления будет записано в виде CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
  3. Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.
  4. Помимо цифирных, существуют и буквенные (алфавитные) системы счисления, вот некоторые из них:
    1) Славянская
    2) Греческая (ионийская)

    Позиционные системы счисления

    Как упоминалось выше — первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.

    Десятичная система счисления

    Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.

    Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас — позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 50310.

    Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.

    Двоичная система счисления

    Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу — сложные верёвочные сплетения и узелки.

    Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1.

    Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 1012 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 510.

    Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа — 0 и 1?

    Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое — единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр — группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров — это оперативная память. Число, содержащееся в регистре — машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа — достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой — по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 1011002. В восьмеричной — это 101 100 = 548, а в шестнадцатеричной — 0010 1100 = 2С16. Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.

    Восьмеричная система счисления

    8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.

    Пример восьмеричного числа: 254. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд исходного числа умножить на 8 n , где n — это номер разряда. Получается, что 2548 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 17210.

    Шестнадцатеричная система счисления

    Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF — белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

    В качестве примера возьмем число 4F516. Для перевода в восьмеричную систему — сначала преобразуем шестнадцатеричное число в двоичное, а затем, разбив на группы по 3 разряда, в восьмеричное. Чтобы преобразовать число в 2-е необходимо каждую цифру представить в виде 4-х разрядного двоичного числа. 4F516 = (100 1111 101)2. Но в 1 и 3 группах не достает разряда, поэтому заполним каждый ведущими нулями: 0100 1111 0101. Теперь необходимо разделить полученное число на группы по 3 цифры справа налево: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Переведем каждую двоичную группу в восьмеричную систему, умножив каждый разряд на 2 n , где n — номер разряда: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 ) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 ) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 ) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 ) = 23658.

    Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
    1) Троичная
    2) Четверичная
    3) Двенадцатеричная

    Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.

    Однородные позиционные системы счисления

    Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение — излишне.

    Смешанные системы счисления

    К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Q n (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q — основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”

    Опираясь на теорему, можно сформулировать правила перевода из P-й в Q-ю системы и наоборот:

    1. Для перевода из Q-й в P-ю, необходимо число в Q-й системе, разбить на группы по n цифр, начиная с правой цифры, и каждую группу заменить одной цифрой в P-й системе.
    2. Для перевода из P-й в Q-ю, необходимо каждую цифру числа в P-й системе перевести в Q-ю и заполнить недостающие разряды ведущими нулями, за исключением левого, так, чтобы каждое число в системе с основанием Q состояло из n цифр.
    3. Яркий пример — перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную. Возьмем двоичное число 100111102, для перевода в восьмеричное — разобьем его справа налево на группы по 3 цифры: 010 011 110, теперь умножим каждый разряд на 2 n , где n — номер разряда, 010 011 110 = (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 ) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 ) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 ) = 2368. Получается, что 100111102 = 2368. Для однозначности изображения двоично-восьмеричного числа его разбивают на тройки: 2368 = (10 011 110)2-8.

      Смешанными системами счисления также являются, например:
      1) Факториальная
      2) Фибоначчиева

      Перевод из одной системы счисления в другую

      Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.

      Преобразование в десятичную систему счисления

      Имеется число a1a2a3 в системе счисления с основанием b. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд числа умножить на b n , где n — номер разряда. Таким образом, (a1a2a3)b = (a1*b 2 + a2*b 1 + a3*b 0 )10.

      Пример: 1012 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 510

      Преобразование из десятичной системы счисления в другие

      Целая часть:

      1. Последовательно делим целую часть десятичного числа на основание системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.
      2. Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.
      3. Дробная часть:

        1. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
        2. Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.
        3. Пример: переведем 1510 в восьмеричную:
          15\8 = 1, остаток 7
          1\8 = 0, остаток 1

          Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 1510 = 178.

          Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

          Для перевода в восьмеричную — разбиваем двоичное число на группы по 3 цифры справа налево, а недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями. Далее преобразуем каждую группу, умножая последовательно разряды на 2 n , где n — номер разряда.

          В качестве примера возьмем число 10012: 10012 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1) = 118

          Для перевода в шестнадцатеричную — разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем — аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.

          Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

          Перевод из восьмеричной в двоичную — преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.

          Для примера рассмотрим число 458: 45 = (100) (101) = 1001012

          Перевод из 16-ой в 2-ю — преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.

          Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную

          Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.

          Пример: 101,0112 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3 ) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) = 5,37510

          Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую

          Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.

          Пример: 1001,012 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,28

          Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую

          Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

          Для примера переведем 10,62510 в двоичную систему:
          0,625*2 = 1,25
          0,250*2 = 0,5
          0,5*2 = 1,0
          Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,62510 = (1010), (101) = 1010,1012

          Преобразование чисел из одной системы счисления в другую

          Достаточно часто требуется уметь переводить число из одной системы счисления в другую. Давайте научимся выполнять такое действие. Преобразование целых чисел и правильных дробей выполняется по разным правилам. В действительном числе преобразование целой и дробной части производят по отдельности.

          Преобразование целых чисел

          Для перевода необходимо исходное число разделить на основание новой системы счисления до получения целого остатка, который является младшим разрядом числа в новой системе счисления (единицы). Полученное частное снова делим на основание системы и так до тех пор, пока частное не станет меньше основания новой системы счисления. Все операции выполняются в исходной системе счисления.

          Рассмотрим для примера перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

          Возьмём десятичное число А10 = 124 и поделим его на основание двоичной системы, то есть число 2. Деление будем производить уголком:

          В результате первого деления получим разряд единиц (самый младший разряд). В результате второго деления получим разряд двоек. Деление продолжаем, пока результат деления больше двух. В конце операции преобразования мы получили двоичное число 11111002.

          Теперь то же самое число переведём в восьмеричную систему счисления. Для этого число 12410 разделим на число 8:

          Как мы видим, остаток от первого деления равен 4. То есть младший разряд восьмеричного числа содержит цифру 4. Остаток от второго деления равен 7. то есть второй разряд восьмеричного числа – это цифра 7. Старший разряд получился равным 1. То есть в результате многократного деления мы получили восьмеричное число 1748.

          Проверим, не ошиблись ли мы в процессе преобразования? Для этого преобразуем получившееся двоичное число в десятичную систему по обычной формуле разложения:

          ;А можно ли осуществить перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную делением? Можно! Но деление нужно произвести по правилам восьмеричной арифметики. Правила работы в восьмеричной системе счисления мы рассмотрим в следующей главе. Тем не менее, для полноты материала, рассмотрим пример перевода в двоичную форму полученного ранее восьмеричного числа 1748. Разделим его на основание новой системы счисления 2.

          Как мы убедились выполнять деление в восьмеричной системе очень неудобно, ведь подсознательно мы делим в десятичной системе счисления. Давайте обратим внимание на то, что число 8 является степенью числа 2. То есть можно считать восьмеричную систему счисления просто более короткой записью двоичного числа. Это означает, что для представления восьмеричной цифры можно использовать три двоичных бита (8=2 3 ). Давайте составим таблицу соответствия. Она приведена в таблице 1.

          Таблица 1. Таблица соответствия восьмеричных цифр и двоичного кода

          Системы счисления

          Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

          • Число — некоторая абстрактная сущность, мера для описания количества чего-либо.
          • Цифры — знаки, используемые для записи чисел.
          • Цифры бывают разные: самыми распространёнными являются арабские цифры, представляемые знаками от нуля (0) до девяти (9); менее распространены римские цифры, их можно встретить на циферблате часов или в обозначении века (XIX век).

            Поскольку чисел гораздо больше чем цифр, то для записи числа обычно используется набор (комбинация) цифр. Только для небольшого количества чисел — для самых малых по величине целых чисел — бывает достаточно одной цифры. Существует много способов записи чисел с помощью цифр, называемых системой счисления. Величина числа может зависеть от порядка цифр в записи, а может и не зависеть. Это свойство определяется системой счисления и служит основанием для простейшей классификации таких систем, что позволяет все системы счисления разделить на четыре класса (группы):

            Позиционные системы счисления подробно рассмотрены ниже, после краткого обзора смешанных и непозиционных систем.

            Денежные знаки — это пример смешанной системы счисления.

            Сейчас в России используются монеты и купюры следующих номиналов: по 5, 10, 50 копеек и по 1, 2, 5, 10, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000 рублей. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, нужно использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства.

            Предположим, что пылесос стоит 6379 рублей. Для покупки можно использовать шесть купюр по тысяче рублей, три купюры по сто рублей, одну пятидесятирублёвую купюру, две десятки, одну пятирублёвую монету и две монеты по два рубля. Если записать количество купюр или монет начиная с 1000 руб. и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями неиспользуемые номиналы, то получится число 603121200000.

            Если перемешать цифры в числе 603121200000, оно представит ложную цену пылесоса. Следовательно, такая запись относится к позиционным системам.

            В непозиционных системах счисления величина числа не зависит от положения цифр в записи. Если к каждой цифре приписать знак номинала, то такие составные знаки (цифра + номинал) уже можно перемешивать, то есть такая запись является непозиционной.

            Примером «рафинированной» непозиционной системы счисления является римская система.

            Содержание

            Введение Править

            Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе.
            Например, число 01 обозначает единицу, 10 — десять.

            Позиционные системы счисления позволяют легко производить арифметические расчёты.

            Представление чисел с помощью арабских цифр — самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Заметьте: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).

            Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления, содержащую только две цифры, 0 и 1. Обратите внимание, что в двоичной системе максимальная цифра 1.

            Программисты для вычислений также пользуются ещё восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

            Количество цифр, используемых в системе счисления, называется её «основанием». В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе — двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной — соответственно, восьми и шестнадцати. То есть в ручной системе счисления количество цифр равно р и используются цифры от 0 до р-1.

            Зависимость плотности записи информации от основания системы счисления Править

            Удельная натуральнологарифмическая плотность записи числа зависит от основания системы счисления х и выражается функцией y=ln(x)/x. Эта функция имеет максимум при x=e=2,718281828….

            То есть система счисления с наибольшей плотностью записи имеет нецелочисленное основание.

            Из целочисленных систем счисления наибольшей плотностью записи информации обладает троичная система счисления, то есть система с основанием равным трём.

            Эту задачу решали ещё во времена Непера, в результате для уменьшения таблиц и числа вычислений перешли к таблицам натуральных логарифмов с основанием равным числу Эйлера е=2,718281828… .

            Преобразование чисел Править

            Посмотрим чему равны числа из примеров. Используем только что приведённую формулу:

            Мы разобрали, как узнать, чему равно число в любой системе счисления. Но как нам получить это число? Представим что у нас есть некоторое число A <\displaystyle A>, и мы хотим получить его представление в системе по основанию f <\displaystyle f>. Как нам это сделать?

            Что и следовало ожидать, получили: 11001 2 <\displaystyle 11001_<2>> .

            Представим число 25 в троичной системе счисления:

            Для закрепления наших знаний проделаем вычисления для восьмеричной и десятичной систем счисления.

            Восьмеричная система счисления:

            Десятичная система счисления:

            Чтобы ещё лучше понять перевод в различные системы счислений, посмотрим, какие трансформации происходят внутри числа 4567 10 <\displaystyle 4567_<10>> .

            Представим это число в виде

            Посмотрим, что у нас получится при последовательном делении на 10 <\displaystyle 10>:

            Шестидесятеричная система счисления Править

            То, как мы представляем время на часах, это пример шестидесятеричной позиционной системы счисления. В представлении времени используется три позиции: для часов, минут и секунд; так как для каждой позиции приходится использовать 60 цифр, а у нас только десять цифр, то для каждой шестидесятиричной позиции используется две десятичные цифры (00, 01, 02, …, 59), а позиции разделяются двоеточием.

            Чтобы получить время в секундах мы должны посчитать вот по такой формуле:

            Рассмотрим действия с шестидесятеричной системой на двух небольших задачках:

            1. Пирог нужно печь в духовке 45 минут, сколько это будет в секундах?
            2. Нужно испечь десять пирогов, сколько потребуется времени?

            Чтобы производить вычисления в шестидесятеричной системе счисления нужно знать таблицу сложений и умножений шестидесятеричных чисел. Каждая таблица очень большая, она размером 60х60 ячеек, мы то обычную таблицу умножения еле запомнили, а уж выучить шестидесятиричную таблицу умножения нам врядли окажется по силам.

            Чтобы решить эти задачи можно посчитать всё в десятичной системе, а потом результат перевести назад в шестидесятиричную систему.

            Приступим. Чтобы перевести 45 минут в количество секунд, нужно просто, подставить числа в верхнюю формулу: h равняется нулю, m равняется 45 и s — нулю, получаем

            0 ⋅ 3600 + 45 ⋅ 60 + 0 = 2700

            Ответ на первый вопрос: пирог нужно печь в духовке 2700 секунд.

            Ответ на второй вопрос: чтобы испечь десять пирогов потребуется 7 часов 30 минут и 0 секунд.

            В компьютерной технике очень часто используется двоичная система счисления. Такую систему очень легко реализовать в электронике (полупроводниковые транзисторы и микросхемы), так как для неё требуется всего два устойчивых состояния (0 и 1).

            Двоичная система счисления может быть непозиционной и позиционной системой. В ней используется две цифры: 0 и 1. В реальном устройстве это может быть реализовано присутствием какого-либо физического явления или его отсутствием. Например: есть электрический заряд или его нет, есть напряжение или нет, есть ток или нет, есть сопротивление или нет, отражает свет или нет, намагничено или не намагничено, есть отверстие или нет и т.п.

            Мы уже знаем, как переводить числа в различные системы счисления. Посмотрим, как это происходит с двоичной системой счисления. Переведём число из двоичной системы счисления в десятичную.

            Вы это можете проверить на программе-калькуляторе (gcalctool в gnome, Kcalc в KDE, или калькулятор в Windows). Он умеет производить расчёты в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления. Теперь вы знаете, как он это проделывает. Если вы захотите посвятить свою жизнь программированию, то вам часто придётся работать со степенями двойки. Ниже представлена таблица:

            Правила преобразования чисел

            Система счисления(далее СС) — совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.
            Наиболее известна десятичная СС, в которой для записи чисел используются цифры 0,1. 9. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения СС должна обеспечивать:

            • возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
            • единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
            • простоту оперирования числами;
            • В зависимости от способов изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционной системой называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления). Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления). Количество знаков или символов, используемых для изображения числа, называется основанием системы счисления.
              Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления.
              Запись чисел может быть представлена в виде
              ,
              где A(D) — запись числа A в СС D;
              Di — символ системы, образующие базу.
              По этому принципу построены непозиционные СС.
              В общем же случае системы счисления: A(B)=a1B1+a2B2 +. +anBn. Если положить, что Bi=q*Bi-1, а B1=1, то получим позиционную СС. При q=10 мы имеем дело с привычной нам десятичной СС.
              На практике также используют другие СС:

              Каждая СС имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо операции над числами, надо помнить о СС, в которой они представлены.
              Если основание системы q превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают прописными буквами латинского: A,B. Z. При этом цифре 10 соответствуею знак ‘A’, цифре 11 — знак ‘B’ и т.д. В таблице ниже приводятся десятичные числа от 0 до 15 и их эквивалент в различных СС:

              Преобразование чисел из одной системы счисления в другую.

              Правила перевода целых чисел
              Результатом является целое число.
              1. Из десятичной системы счисления — в двоичную и шестнадцатеричную:

              1. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;
              2. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);
              3. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;
              4. формируется результирующее число: его старший разряд — полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа — первый остаток от деления, а старший — последнее частное.
              5. Пример 3.1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

                Пример 3.2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:

                Пример 3.3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

                2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления — в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле.

                Пример 3.4. Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления. Имеем:
                1316 = 1*16 1 + 3*16 0 = 16 + 3 = 19.
                Таким образом, 1316 = 19.

                Пример 3.5. Выполнить перевод числа 100112 в десятичную систему счисления. Имеем:
                100112 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16+0+0+2+1 = 19.
                Таким образом, 100112 = 19.

                3. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

                1. исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;
                2. каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей
                3. Пример 3.6. Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления.
                  Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:

                  4. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

                  1. каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;
                  2. незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.
                  3. Пример 3.7. Выполнить перевод числа 1316 в двоичную систему счисления.
                    По таблице имеем: 116 = 12 и после дополнения незначащими нулями 12 = 00012; 316 = 112 и после дополнения незначащими нулями 112 = 00112. Тогда 1316 = 000100112. После удаления незначащих нулей имеем 1316 = 100112.

                    Правила перевода правильных дробей
                    Результатом является всегда правильная дробь.
                    1. Из десятичной системы счисления — в двоичную и шестнадцатеричную:

                  4. исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);
                  5. в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру нужной системы счисления и отбрасывается — она является старшей цифрой получаемой дроби;
                  6. оставшаяся дробная часть вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б).
                  7. процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;
                  8. формируется результат: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.
                  9. Пример 3.8. Выполнить перевод числа 0,847 в двоичную систему счисления. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.
                    Имеем:

                    В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр.
                    Таким образом, 0,847 = 0,11012.

                    Пример 3.9. Выполнить перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.

                    В данном примере также процедура перевода прервана. Таким образом, 0,847 = 0,D8D2.

                    2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления — в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле, причем коэффициенты ai принимают десятичное значение в соответствии с таблицей.

                    Пример 3.10. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0,11012. Имеем:
                    0,11012 = 1*2 -1 + 1*2 -2 + 0*2 -3 +1*2 -4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125.
                    Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана.
                    Таким образом, 0,11012 = 0,8125.

                    Пример 3.11. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную числа 0,D8D16. Имеем:
                    0,D8D16 = 13*16 -1 + 8*16 -2 + 13*16 -3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 = 0,84692.
                    Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.
                    Таким образом, 0,D8D16 = 0,84692.

                    3. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

                  10. исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;
                  11. каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.
                  12. Пример 3.12. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,11012. Имеем:
                    0,11012 = 0,11012 В соответствии с таблицей 11012 = D16. Тогда имеем 0,11012 = 0,D16.

                    Пример 3.13. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,00101012.
                    Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль: 0,00101012 = 0,001010102. В соответствии с таблицей 00102 = 102 = 216 и 10102 = A16. Тогда имеем 0,00101012 = 0,2A16.

                    4. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

                    1. каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей;
                    2. незначащие нули отбрасываются.
                    3. Пример 3.14. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А16.
                      По таблице имеем 216 = 00102 и А16 = 10102. Тогда 0,2А16 = 0,001010102.
                      Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный результат: 0,2А16 = 0,00101012.

                      Правило перевода дробных чисел
                      Отдельно переводится целая часть числа, отдельно — дробная. Результаты складываются.

                      Пример 3.15. Выполнить перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 19,847. Перевод выполнять до трех значащих цифр после запятой.
                      Представим исходное число как сумму целого числа и правильной дроби:
                      19,847 = 19 + 0,847.
                      Как следует из примера 3.2, 19 = 1316; а в соответствии с примером 3.9 0,847 = 0,D8D16. Тогда имеем:
                      19 + 0,847 = 1316 + 0,D8D16 = 13,D8D16.
                      Таким образом, 19,847 = 13,D8D16.

                      Смотрите еще:

                      • Расчет налога за 2010 Расчет налога за 2010 Расчет транспортного налога для жителей г. Новосибирска и Новосибирской области производится в соответствии с действующим Законом Новосибирской области от 16 октября 2003 года № 142-ОЗ «О налогах и особенностях […]
                      • Ходатайство потерпевшего о назначении экспертизы Ходатайство о назначении повторной судебной экспертизы +7(988)248-44-03 Образцы формы исковых заявлений, ходатайств, возражений от кого __________________ ХОДАТАЙСТВО о назначении повторной судебной экспертизы В вашем производстве […]
                      • Правила пунктуации как надо Точка в конце повествовательного предложения, простого или сложного: Скупо грело солнце. Ветер шевелил траву, которая давно выгорела. в конце побудительного предложения пи спокойном тоне речи: Напиши письмо. Пойдём. в конце развернутых […]
                      • Как вернуть госпошлину арбитраж Госпошлина в арбитражный суд: 2017 год Актуально на: 19 июня 2017 г. Заявление на возврат излишне уплаченной государственной пошлины Одной из разновидностью госпошлин является государственная пошлина в арбитражный суд. Об особенностях […]
                      • Виталий законы Виталий Зыков. Великие Спящие 2. Свет против Света. Дорога домой - 6 Виталий Зыков Великие Спящие 2. Дорога домой - 6 Свет против Света ------------------------------ Экстренное заседание Совета Мастеров по поводу трагической гибели […]
                      • Приказ на право выдачи нарядов допусков Приказ о назначении лиц, имеющих право на выдачу нарядов-допусков Как правильно составить приказ по нарядам-допускам для организации, которая занимается такими видами деятельности, как водопроводно-канализационное хозяйство, чистка […]
                      • За пересечение сплошной линии сколько штраф Пересечение сплошной и двойной сплошной линии разметки — штрафы в 2018 году Наказание за пересечение сплошной или двойной сплошной линии разметки затрагивает практически весь диапазон ответственности за нарушения ПДД и может быть от […]
                      • Пособия за 3 ребенка в 2013 ДетиСочи.ру Путеводитель по детским товарам и услугам в СочиНас уже 4668, присоединяйтесь. За третьего ребенка государство готово доплатить Уже со следующего года более чем в 50 российских регионов планируется ввести специальное пособие […]