Построить график функции правила

Оглавление:

Построить график функции правила

ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => f(x) — b
Пусть требуется построить график функции у = f(х) — b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f(х) при b>0 и на |b| единиц больше — при b 0 или вверх при b 0 или на |b| единиц вниз при b f(x + a)
Пусть требуется построить график функции у = f(x + a). Рассмотрим функцию y = f(x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f(x1). Очевидно, функция у = f(x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 — a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f(x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс влево на |a| единиц при a > 0 или вправо на |a| единиц при a 0 или на |a| единиц влево при a f(-x)
Очевидно, что функции y = f(-x) и y = f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f(-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f(-x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f(-x)

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = — F(X)

f(x) => — f(x)
Ординаты графика функции y = — f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f(x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = — f(x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Примеры:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => k•f(x)
Рассмотрим функцию вида y = k•f(x), где k > 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции у = f(x) при k > 1 или 1/k раз меньше ординат графика функции y = f(x) при k 1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k 1 — растяжение от оси Ох
0 f(k•x)
Пусть требуется построить график функции y = f(kx), где k>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(kx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = kx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(kx) оказывается сжатым (при k 1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.
Для построения графика функции y = f(kx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/k раз при k 1
— сжатие к оси Оу
0

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х, а на оси ординат — значения функции у = f (х).

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x).

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 — 2х.

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x), то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 — 2х принимает положительные значения при х 2, отрицательные — при 0 2 — 2х принимает при х = 1.

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению y = f(x). В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений — скажем, х1, х2, x3 . хk и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

В данном методическом материале по математике на тему «Методы построения графиков функций» дается определение функции, рассматриваются способы задания функций: табличный, словесный, графический и аналитический.

В методическом материале по математике (алгебре) «Методы построения графиков функций» проводится разбор методов построения графиков функций: параллельный перенос, отражение, выполняется построение графиков четной и нечетной функций.

Оглавление

Введение
Глава 1. Определение функций.
Глава 2. Способы задания функций
Глава 3. Методы построения графиков функций
3.1. Параллельный перенос.
3.2. Отражение.
3.3. Построение графиков четной и нечетной функций.
Список источников

Изучение действий функций и построение их графиков является важным разделом математики.

Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и порой является единственным средством их решения.

Кроме того, умение строить графики функций представляет собой большой самостоятельный интерес.

Глава 1. Определение функций

Величины, участвующие в одном и том же явлении, могут быть взаимосвязаны, так что изменение одних из них влечёт за собой изменение других. Например, увеличение (или уменьшение) радиуса круга ведёт к обязательному увеличению (или уменьшению) его площади.

В таких случаях говорят, что между переменными величинами существует функциональная зависимость, причём одну величину называют функцией, или зависимой переменной (е часто обозначают буквой у), а другую — аргументом, или независимой переменной (её обозначают буквой х).

Функциональную зависимость между х и у принято обозначать символом y=f (x). Если значению х соответствует больше, чем одно значение у, то такая функция называется многозначной.

Переменная величина у есть функция аргумента х, то есть y=f (x), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у.

Графиком функции называется совокупность всех точек на плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению y=f (x).

Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу — осью ординат.

Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы установить лишь путём длительных вычислений. Если между величинами х и у существует функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую — функцией.

Глава 2. Способы задания функций

Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным.

2). Словесный способ. Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле у = D (х): если х — рациональное число, то значение функции D (х) равно 1, а если число х — иррациональное, то значение функции D (х) равно нулю.

Таким образом, чтобы найти значение D (x0) при заданном значении х = х0, необходимо каким — либо способом установить, рационально или иррационально число х0.

3). Графический способ. Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f (x).

Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.

4). Аналитический способ. При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций.

Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.

Глава 3. Методы построения графиков функций

Однако при рассмотрении графиков многих функций часто можно избежать проведения подобного исследования, используя ряд методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графика.

Изложению именно таких методов посвящается эта глава, которая может служить практическим руководством при построении многих функций.

Параллельный перенос

Перенос вдоль оси ординат.

Пусть требуется построить график функции у = f (х) — b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на ЅbЅ единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f (х) при b>0 и на ЅbЅ единиц больше — при b 0 или вверх при b 0 или наЅbЅ единиц вниз при b f (x + a)

Пусть требуется построить график функции у = f (x + a). Рассмотрим функцию y = f (x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f (x1).

Очевидно, функция у = f (x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 — a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции.

Следовательно, график функции у = f (x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f (x) вдоль оси абсцисс влево наЅaЅ единиц при a>0 или вправо на ЅaЅ единиц при a 0 или наЅaЅ единиц влево при a

Иначе говоря, ординаты графика функции y = f (-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f (x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х.

Таким образом, получаем следующее правило .
Для построения графика функции y = f (-x) следует построить график функции y = f (x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f (-x)

Построение графика функции вида y = — f (x).
f (x) => — f (x)

Ординаты графика функции y = — f (x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f (x) при тех же значениях аргумента.

Таким образом, получаем следующее правило .
Для построения графика функции y = — f (x) следует построить график функции y = f (x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Построение графиков четной и нечетной функций.

Как уже отмечалось, для четной функции y = f (x) во всей области изменения ее аргумента справедливо соотношение f (x) = f (-x).

Следовательно, функция такого рода принимает одинаковое значение при всех значениях аргумента, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Для построения графика четной функции y = f (x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (хі0). График функции y = f (x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается отражением ее относительно этой оси.

Для нечетной функции y = f (x) в области всех значений аргумента справедливо равенство f (-x) = — f (x).

Таким образом, в области отрицательных значений аргумента ординаты графика нечетной функции равны по величин, но противоположны по знаку ординатам графика той же функции при соответствующих положительных значениях х. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Для построения графика нечетной функции y = f (x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (хі0).

График функции y = f (x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области отрицательных значений относительно оси абсцисс.

Список источников

1. Алгебра и начала математического анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / под редакцией А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд; 23-изд.-М.: Просвещение, 2014 -384с.

1. Построение графиков функций

Графики любых функций строят по точкам. Но если вид графика заранее неизвестен, эти точки надо выбирать со смыслом — выделять особо важные точки графика, которые определяют его вид.

К особо важным точкам графика функции y = f ( x ) относят:

— стационарные и критические точки;

— точки пересечения графика с осью \(x\) ( нули функции) и с осью \(y\);

— точки разрыва функции.

Если речь идет о построении графика незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять определенную схему исследования свойств функции, которая помогает составить представление о ее графике. Когда такое представление сложится, можно приступать к построению графика по точкам.

В курсе математического анализа разработана универсальная схема исследования свойств функции и построения графика функции, позволяющая строить весьма сложные графики. Для наших нужд будут достаточны упрощенные варианты указанной схемы.

1) Если функция y = f ( x ) непрерывна на всей числовой прямой, то достаточно найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек.

2) Если функция y = f ( x ) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции (если область не задана) и с указания ее точек разрыва.

3) Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной или нечетной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси \(y\) или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при \(x>0\), а затем дорисовать симметричную ветвь.

4) Если lim x → ∞ f ( x ) = b , то, как известно, прямая \(y=b\) является горизонтальной асимптотой графика функции y = f ( x ) . Асимптоту следует строить на координатной плоскости, она дает своеобразный ориентир для графика.

5) При условии: если x → a , то y → ∞ — прямая \(x=a\) является вертикальной асимптотой графика функции y = f ( x ) .

Построить график функции y = x 2 + 1 x 2 − 1 .

Решение 1. Введем обозначение: f ( x ) = x 2 + 1 x 2 − 1 . Найдем область определения функции. Она задается условиями x ≠ 1, x ≠ − 1 . Итак, D ( f ) = ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) .

2. Исследуем функцию на чётность:

f ( − x ) = − x 2 + 1 − x 2 − 1 = x 2 + 1 x 2 − 1 = f ( x )

Значит, заданная функция чётна, ее график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x ≥ 0 .

3. Найдём асимптоты. Вертикальной асимптотой является прямая \(x=1\), поскольку при этом значении \(x\) знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить lim x → ∞ f ( x ) :

lim x → ∞ x 2 + 1 x 2 − 1 = lim x → ∞ x 2 x 2 + 1 x 2 x 2 x 2 − 1 x 2 = lim x → ∞ 1 + 1 x 2 1 − 1 x 2 = 1

Значит, \(y=1\) — горизонтальная асимптота графика функции.

4. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:

y ′ = x 2 + 1 x 2 − 1 ′ = ( x 2 + 1 ) ′ ⋅ ( x 2 − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ⋅ ( x 2 − 1 ) ′ x 2 − 1 2 = 2 x ⋅ ( x 2 − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ⋅ 2 x x 2 − 1 2 = − 4 x x 2 − 1 2 .

Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет.

Стационарные точки найдем из соотношения y ′ = 0 . Получаем: \(-4x=0\), откуда находим, что \(x=0\). При \(x y ′ > 0 ; при \(x>0\) имеем: y ′ 0 . Значит, \(x=0\) — точка максимума функции, причем y max = f ( 0 ) = 0 2 + 1 0 2 − 1 = − 1 .

При \(x>0\) имеем: y ′ 0 ; но следует учесть наличие точки разрыва \(x=1\). Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке 0 ; 1 ) функция убывает, на промежутке ( 1 ; + ∞ ) функция также убывает.

5. Составим таблицу значений функции f ( x ) = x 2 + 1 x 2 − 1 при x ≥ 0 :

Функции. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

1. Функцией называется правило , по которому каждому элементу множества ставится в соответствие единственный элемент множества .

  • — это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
  • 2. Допустимые значения аргумента, или область определения функции — это то, что связано с возможными , при которых функция имеет смысл.

    3. Область значений функции — это то, какие значения принимает , при допустимых значениях .

    4. Существует 4 способа задания функции:

  • аналитический (с помощью формул);
  • табличный;
  • графический
  • словесное описание.
  • 5. Основные виды функций:

    • линейная функция: , где , — действительные числа;
    • квадратичная функция: , где ;
    • гипербола: , где .
    • Суть понятия «функция»

      Понятие «функция» пронизывает все сферы математики и не только. Мы все знаем, что функция записывается как , но можешь ли ты ответить, что обозначает эта формула? Если да, то ты большой молодец! А если нет – не страшно! Сейчас быстренько во всем разберемся!

      Так вот, функция отражает зависимость величин друг от друга: то есть при изменении одного числа , по некоторому закону изменяется . Зависимость, или взаимосвязь — вот ключевые слова при определении понятия функции.

      Попробуй самостоятельно придумать несколько примеров из жизни, где четко проявляется зависимость одного от другого.

      И. Не можешь придумать ни один пример? Как так! Смотри:

      Допустим автомобиль движется со средней скоростью км/ч, как тогда выразить зависимость пути от времени ? Правильно:

      То есть чем больше времени автомобилист проведет за рулем, тем больше расстояние он преодолеет на своем автомобиле. Чем не зависимость?

      Что в этом случае будет , что , и как будет выражено в итоге ? Проведем параллели между физической формулой и привычной нам записью функции :

    • , то есть путь, который проедет автомобилист;
    • , время, которое он проведет в пути;
    • — зависимость пути от времени, учитывая, что скорость на всем пути постоянна.
    • Разобрался что к чему? Теперь перейдем на математический язык. Итак. Еще раз смотрим на нашу формулу:

      Слева стоит — это и есть функция. За этой буквой может быть все что угодно: температура, скорость, сила, путь – неважно! — зависимая величина. Она может зависеть от множества критериев. Например, как в нашем случае, зависимость пути от времени, проведенном в дороге при движении с постоянной скоростью.

      Справа у нас стоит . Эта величина переменная, или, как говорят математики, «аргумент». Логично, что чем больше времени проведет автомобилист в дороге, тем большее расстояние он проедет (конечно, если скорость будет постоянна, и он не встрянет намертво в московских пробках).

      Справа у нас также есть , за этим скрываются все действия, совершаемые над . В нашем случае мы говорим, что , а так как км/ч, то под скрывается умножение на , вот мы и получаем — .

      Теперь думаю тебе все понятно? Подведем краткий итог:

      1. — переменная величина, или, аргумент;
      2. — зависимая величина – изменяется при изменении аргумента, то есть согласно какой-либо определенной формуле , отражающей зависимость одной величины от другой.

      Теперь, когда ты понял суть понятия «функция», знаешь что такое переменная величина, а что постоянная, посмотрим на определение функции, каким его дают математики:

      Вроде и есть… и есть, и даже правило есть, но что это за множества такие? «О них мы ни слова не говорили!» — воскликнешь ты. Не паникуй!:) Множества – это очень просто, сейчас все-все проясним!

      Вернемся к нашему примеру – автомобилист едет с постоянной скоростью и проезжает расстояние, которое зависит от того, сколько времени он провел в пути. Все верно? Разбираемся дальше. Мы говорили, что , это как раз и есть время, проведенное в пути. Каким оно может быть?

      Ты сейчас крайней удивлен, но все же, каким может быть это время? Правильно, чисто теоретически от до . Вот ты сам и определил для нашего конкретного случая множество , а иначе говоря, допустимые значения аргумента или область определения функции .

      Запомнить очень легко: что определяет нашу функцию? От чего зависит игрек, и что мы меняем? Функцию определяет икс! Соответственно, область определения – это возможные значения .

      Теперь давай рассматривать, что такое множество . Думаю, ты сам ответишь, что путь не может быть отрицательным, так что в нашей с тобой придуманной функции так же может принимать значения в промежутке от до . Это называется областью значений функции , то есть множество , которые существуют для данной функции.

      Итак, сделаем небольшой вывод по последнему:

      1. Допустимые значения аргумента, или область определения функции — это то, что связано с возможными , при которых функция имеет смысл.
      2. Область значений функции — это то, какие значения принимает , при допустимых значениях .
      3. Легко? То-то же. Давай потренируемся находить области определения функции и ее допустимые значения.

        Для начала попробуй найти область определения функции:

        Справился? Сравним ответы:

        Все верно? Молодец! Теперь попробуем найти область значения функции:

        Сошлось? Молодец! Еще раз поработаем с графиками, только теперь чуть-чуть посложнее – найти и область определения функции, и область значения функции:

        С графиками, я думаю, ты разобрался. Теперь попробуем в соответствии с формулами найти область определения функции (если ты не знаешь как это сделать, прочитай раздел про ОДЗ):

        Справился? Сверим ответы:

      4. , так как подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.
      5. 0″> , так как на ноль делить нельзя и подкоренное выражение не может быть отрицательным.
      6. , так как , соответственно 0″> при всех .
      7. , так как на ноль делить нельзя.
      8. Однако, у нас остался еще один не разобранный момент… Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:

        Заметил? Слово «единственный» — это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.

        Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. . При , мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что . Одному значению соответствует одно значение . Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.

        А вот и график с нашими отмеченными точками:

        Как ты убедился – графиком является прямая, в которой одному значению соответствует одно значение (данный факт показан красными линиями).

        Соответственно, данная зависимость подходит под определение функции.

        А что ты скажешь о такой зависимости: , то есть параболы? Является ли она функцией? Давай составим также табличку значений:

        «Смотри! — скажешь ты, -« » встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является!

        То, что « » встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!

        Дело в том, что, при расчёте для , мы получили один игрек. И при расчёте с мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией. Посмотри на график:

        Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!

        Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:

        Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» — нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.

        Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:

        Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу множества ставится в соответствие несколько элементов множества . Соответственно, это не функция.

        Проверим твои знания на практике. Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:

        Разобрался? А вот и ответы:

      9. Функцией является – В,Е.
      10. Функцией не является – А, Б, Г, Д.
      11. Ты спросишь почему? Да вот почему:

        На всех рисунках кроме В) и Е) на один приходится несколько !

        Уверена, теперь, ты с легкостью отличишь функцию от не функции, скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции. Приступаем к следующему разделу – как задать функцию?

        Способы задания функции

        Как ты думаешь, что означают слова «задать функцию»? Правильно, это значит объяснить всем желающим, о какой функции в данном случае идет речь. Причем объяснить так, чтобы каждый понял тебя правильно и нарисованные людьми по твоему объяснению графики функций были одинаковы.

        Как это можно сделать? Как задать функцию? Самый простой способ, который уже не раз применялся в этой статье – с помощью формулы. Мы пишем формулу, и, подставляя в нее значение , высчитываем значение . А как ты помнишь, формула – это закон, правило, по которому нам и другому человеку становится ясно, как икс превращается в игрек.

        Обычно, именно так и делают – в заданиях мы видим уже готовые функции, заданные формулами, однако, существуют и другие способы задать функцию, про которые все забывают, в связи с чем вопрос «как еще можно задать функцию?» ставит в тупик. Разберемся во всем по порядку, а начнем с аналитического способа.

        Аналитический способ задания функции

        Аналитический способ это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ. Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все – ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.

        Рассмотрим функцию . Чему равно ?

        «Что это значит?» – спросишь ты. Сейчас объясню.

        Напомню, что в записи выражение в скобках называется аргументом. И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто . Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении .

        В нашем примере получится так:

        Рассмотрим еще задание, связанное с аналитическим способом задания функции, которое будет у тебя на экзамене. Задание звучит следующим образом:

        Найдите значение выражения , при .

        Уверена, что сначала, ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного!

        Все как и в прошлом примере: каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении . Например, для функции .

        Что же нужно сделать в нашем примере? Вместо надо написать , а вместо – :

        А дальше, используя свойства степени (можешь лишний раз одним глазком заглянуть в соответствующую тему – не помешает), а именно:

        сократить получившееся выражение:

        Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:

        Справился? Сравним наши ответы:

        Мы привыкли, что функция имеет вид , даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например . Попробуй построить эту функцию самостоятельно.

        Вот как строила ее я.

        Какое уравнение мы в итоге вывели? Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой:

        А теперь строим по данным точкам график:

        Вот так из неявной формулы получилась линейная функция. А теперь посмотри следующую формулу: . Является ли она функцией? Согласись, вызывает затруднение… Попробуй подставить различные значения и посмотреть, какой им соответствует.

        Вот как раз то, о чем мы говорили… Одному соответствует несколько . Попробуем нарисовать то, что получилось:

        Является ли то, что у нас получилось функцией? Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло?

        «Потому что одному значению соответствует несколько значений !»

        Какой вывод мы можем из этого сделать? Правильно, функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!

        Табличный способ задания функции

        Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. Да, да. Наподобие той, которой мы с тобой уже составляли. Например:

        Как ты уже знаешь, в первой строчке мы ставим значение аргумента, а во второй строчке — соответствующие ему значение функции. Таким образом, в таблице каждому иксу соответствует одно значение игрека.

        Заметь, в последней приведенной табличке невозможно четко определить правило, по которому игрек зависит от икс. Так тоже бывает и в этом нет ничего страшного, просто мы не можем вот так сразу взять и определить правило.

        Если тебя это смущает, приведу в пример другую таблицу:

        Здесь ты сразу подметил закономерность – игрек в три раза больше чем икс. А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции ?

        Не будем долго рассуждать, а будем рисовать!

        Итак. Рисуем функцию, заданную обоями способами:

        Видишь разницу? Дело совсем не в отмеченных точках! Присмотрись внимательнее:

        Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них. Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай!

        Графический способ построения функции

        Графический способ построения функции не менее удобен. Мы рисуем нашу функцию, а другой заинтересованный человек может найти чему равен игрек при определенном икс и так далее. Графический и аналитический способы одни из самых распространенных.

        Однако, здесь нужно помнить о чем мы с тобой говорили в самом начале – не каждая «загогулина» нарисованная в системе координат является функцией! Вспомнил? На всякий случай скопирую тебе сюда определение, что функцией является:

        Как правило, люди обычно называют именно те три способа задания функции, которые мы разобрали – аналитический (с помощью формулы), табличный и графический, напрочь забывая о том, что функцию можно словесно описать. Как это? Да очень просто!

        Словесное описание функции

        Как же описать функцию словесно? Возьмем наш недавний пример — . Данную функцию можно описать «каждому действительному значению икс соответствует его утроенное значение». Вот и все. Ничего сложного. Ты, конечно, возразишь — «есть настолько сложные функции, которые словесно задать просто невозможно!» Да, есть и такие, но есть функции, которые описать словесно легче, чем задать формулой. Например: «каждому натуральному значению икс соответствует разница между цифрами, из которых он состоит, при этом за уменьшаемое берется наибольшее цифра, содержащиеся в записи числа». Теперь рассмотрим, как наше словесное описание функции реализуется на практике:

        Наибольшая цифра в данном числе – , соответственно, – уменьшаемое, тогда:

        Основные виды функций

        Теперь перейдем к самому интересному — рассмотрим, основные виды функций, с которыми ты работал/работаешь и будешь работать в курсе школьной и институтской математики, то есть познакомимся с ними, так сказать и дадим им краткую характеристику. Более подробно про каждую функцию читай в соответствующем разделе.

        Линейная функция

        Функция вида , где , — действительные числа.

        Графиком данной функции служит прямая, поэтому построение линейной функции сводится к нахождению координат двух точек.

        Положение прямой на координатной плоскости зависит от углового коэффициента .

        Квадратичная функция

        Функция вида , где

        Графиком функции является парабола, при ветви параболы направлены вниз, при 0″> — вверх.

        Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле

        Положение параболы на координатной плоскости относительно значения и коэффициента показаны на рисунке:

        Область допустимых значений —

        Область определения зависит от экстремума данной функции (точки вершины параболы) и коэффициента (направления ветвей параболы)

        Функция, представляющая собой обратную пропорциональность.

        Она задана формулой: , где

        Число называется коэффициентом обратной пропорциональности. В зависимости от того, какое значение , ветви гиперболы находятся в разных квадратах:

        Область допустимых значений — .

        Комментарии

        Тому кто написал данную статью большое спасибо.Побольше бы таких людей.Вы мне очень помогли. СПАСИБО.

        Влад, всегда рады помочь. Спасибо большое за теплые слова. Мы правда тронуты. Следи за нашей рассылкой. Будут еще такие же полезные посты. Надеюсь ты на нее подписан.

        Ошибок то же много..

        Учебник написан «с нуля». Поэтому ошибки могут быть. Но мы их постоянно исправляем. Будем признательны, если подскажете где ошибка.

        Ошибка в слове «тоже» у Rai ))) Большое спасибо за материал!

        Спасибо, Марина, большое! 🙂

        Мне тоже кажется что «-» пропущен в «Б»

        Арсений, Павел, спасибо, за то, что заметили ошибки! Исправили.

        Добрый вечер!Подскажите, а то запутался. Я что-то упустил или всё таки в первом задании-где нужно ответить на области определения функции и найти её значение в варианте Б) D(y)=(2;2)u (2;6) необходимо D(y)=(-2;2)(2;6)-пропущен ,,-. Также и в следующем задании вариант Б) E(y) = (-&;1) u (1;+&), а нужно E(y) = (-&;-1) (и здесь знак не объединения, а другой скорей всего) (1;+&).

        Арсений, спасибо за замечание! Нужен именно знак объединения, который показывает, что подходят значения из обеих областей.

        Спасибо тебе, Арс!

        Здравствуйте, только начал изучать функции и столкнулся с проблемой. Не могли бы вы прояснить: Почему в начале Б: D(y)=(2;2)∪(2;6), а не D(y)=(-2;2)∪(6;2) ? Почему во вторых рисунках Б) E(y)=(−∞;1]∪[1;+∞), а не E(y)=(−∞;-1]∪[-1;+∞) и точно ли так функция записывается?

        Павел, спасибо за замечания, ошибки исправил.

        Здравствуйте) Очень полезная статья, помогло разобраться с тем, чего я не понимала Но разве в разделе «Квадратичная функция» на 4, 5, 6 рисунке а > 0?

        Очень хорошая у вас статья — даже инженеру в помощь.

        Ого! Неожиданно, но приятно! Спасибо, Светлана.

        Спасибо огромное, очень доступно. А скажите,будь ласка, как найти аналитическую формулу функции по ее табличному виду, без подбора. Благодарю.

        Вот здесь можно посмотреть как написать функцию по таблице: https://ru.wikihow.com/написать-функцию-по-таблице-значений-функции

        Кристина, хороший вопрос! Я отвечать не возьмусь. Может быть Алексей ответит. Или коллективный могз, кто-нибудь из наших читателей захочет?

        Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

        Политика конфиденциальности

        Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

        Сбор и использование персональной информации

        Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

        От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

        Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

        Какую персональную информацию мы собираем:

      12. Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
      13. Как мы используем вашу персональную информацию:

      14. Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
      15. Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
      16. Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
      17. Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
      18. Раскрытие информации третьим лицам

        Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

      19. В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
      20. В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
      21. Защита персональной информации

        Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

        Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

        Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

        Спасибо за сообщение!

        Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

        Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

        Преобразования графиков с модулем

        Модуль аргумента и модуль функции

        Если Вы попали на эту страницу из поисковика, миновав предыдущие разделы темы «Графики функций и их преобразования», то рекомендую сначала повторить графики основных элементарных функций и общие правила преобразования графиков функций.

        В этом примере оба графика получены из графика функции y = x − 3. Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|) , второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)| .

        III При построении из графика функции y = f(x) более сложных графиков, например, вида y = k·f (a|x| + b) + c или y = k·|f (ax + b)| + c тщательно соблюдайте последовательность преобразований.

        Ниже показаны примеры графиков различных функций, содержащих модуль, которые получены из графика функции y = √|x| __ .

          1.2.3.4.5.

          IV Равенство вида |y| = f (x) по определению не является функцией, так как допускает неоднозначность при вычислении значения y. Однако линию на координатной плоскости оно задает, и эту линию тоже можно построить, исходя из графика функции y = f(x) .
          Для этого нужно:

          1. Построить график функции y = f(x) .
          2. Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f(x).
          3. Построить нижнюю часть линии (при отрицательных y) симметричным отображением относительно оси Ox.
          4. Эти графики также получены из графика функции y = √x _ .

              6.7.

              Пример 1.

              Задан график функции y = x 2 .
              Построить кривые, удовлетворяющие уравнению, |y| = x 2 − 2|x| − 5 .

              Заметим, что x 2 = |x| 2 (значение четной степени, как и значение модуля, всегда неотрицательно). Поэтому, выделяя полный квадрат, преобразуем функцию к виду |y| = (|x| − 1) 2 − 6 и строим её график последовательными преобразованиями.

              Строим график функции f(x) = (x − 1) 2 − 6 переносом на 1 вправо вдоль оси Ox, а затем переносом вниз на 6 единиц вдоль оси Oy.
              Строим график функции f(|x|) = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Oy.
              Строим линии, удовлетворяющие уравнению |y| = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Ox.

                1.2.3.4.5.

                Следующий график постройте самостоятельно, чтобы убедиться, что вы правильно поняли материал.

                Пример 2.

                Задан график функции y = x 2 .
                Построить график функции y = |x 2 − 2x − 5| .

                Сумма модулей

                Если формула функции включает сумму или разность несколько модулей, то следует разбить координатную плоскость на участки и построить каждую ветвь графика отдельно. Границы участков определяются приравниванием каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения. Подробный пример такого подхода можно увидеть в задаче 1 на странице, посвященной решению уравнений с параметрами.

                Однако, если подмодульные выражения простые и содержат элементарные функции, графики которых вам хорошо известны, то можно получить результат прямым сложением ординат этих графиков в характерных точках.

                Пример 3.

                Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| .

                Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, следовательно 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно 2 границы, которыми плоскость разбита на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.

                На одних осях независимо друг от друга строим графики функций y = |x + 2| и y = |x − 1| , используя сдвиг и отражение. Складываем ординаты в точках излома x = −2 и x = 1 и в двух удобных точках на крайних участках, например, при x = −3 и x = 3 . На приведенном рисунке красным цветом представлен результирующий график, полученный по этим 4-ём точкам: (−3;5 ), (−2;3 ), (1; 3), (3;7).

                Теперь проверьте себя.

                Пример 4.

                Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| − |x| .

                Есть вопросы? пожелания? замечания?
                Обращайтесь — [email protected]

                Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

                Смотрите еще:

                • Правила умножения и деления чисел в степени Свойства степени Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов. Степень с натуральным […]
                • Составьте закон распределения числа попаданий Испытания по схеме Бернулли Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для построения биноминальным ряда распределения и вычисления всех характеристик ряда: математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. […]
                • Авито работа юрист спб О компaнии: Нaша кoмпания занимает лидирующиe позиции нa рынке юpидичеcкиx услуг по вeдeнию дeл в Apбитpажном судe в Caнкт-Пeтepбургe. Зa годы paбoты сфopмирoвана бoльшая клиентская база с пoстоянными клиeнтaми. У кoмпaнии pазнообразнaя […]
                • Спор пароль Надежность пароля [Комикс разбит на 6 панелей расположенных сеткой 3х2.] [В каждом ряду первая панель объясняет, из чего состоит пароль; вторая панель показывает, сколько времени может потребоваться компьютеру для его подбора; а третья […]
                • Законы алгебры буля Основные законы алгебры Буля Как уже отмечалось, в булевой алгебре все операции осуществляются с логическими переменными и подчиняются законам алгебры логики. Опишем некоторые из них. а) Переместительный закон а + в = в + а; ав = ваб) […]
                • Финансовый план утверждаемый в форме закона Финансовые планы, утверждаемые в форме закона: • бюджет Фонда социального страхования Российской Федерации • областные и краевые бюджеты - сводная бюджетная роспись - смета доходов и расходов бюджетного учреждения Финансовое […]
                • Правила сдачи экзамена на водительские права Новые правила сдачи экзамена на водительские права Новый Административный регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по проведению экзаменов на право управления транспортными […]
                • Правила употребления this these Study English Now Английский язык прямо сейчас. Что, как и почему. Использование this, that, these, those Эти слова используются в разных ситуациях с некоторыми отличиями в оттенках значения. Кроме того, that служит для введения […]