Точка движется прямолинейно по закону s t 2t 2

Точка движется прямолинейно по закону x(t)=4t^2-15t^4.Найдите
формулу вычисления скорости в любой момент времени.Вычислите скорость и
ускорение при t=2(время измеряется в секундах.координата -в метрах).
P.S. Почему скорость и ускорение получаются отрицательными?

Ответы и объяснения

Находим производную х´(t)=4(t^2) ´+(-15(t^4) ´)=8t-60t^3
t=2 x´(2)=8*2-60*2^3=-464m/c-cкорость
-464/2=-232m/c^2-ускорение

  • Комментарии
  • Отметить нарушение
  • Vladislav006
  • главный мозг
  • Дано:
    скорость это первая производная пути по времени, тогда
    — формулу вычисления скорости в любой момент времени
    при t=2

    Скорость равна v = 464 м/с.
    Знак минус означает, что проекция вектора скорости или ускорения на оси координат отрицательная. т.е направления вектора скорости и вектора ускорения не совпадает с положительным направление осей координат.

    5 июня Наши мобильные приложения могут работать оффлайн.
    Андроид iOS

    − Examer из Таганрога;
    − Учитель Думбадзе В. А.
    из школы 162 Кировского района Петербурга.

    Наша группа ВКонтакте
    Мобильные приложения:

    Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.

    м/с.

    Почему мы не учитываем число 17 из первоначального уравнения?

    найдите производную исходной функции.

    в производной нет числа 17

    Скорость — это производная координаты по времени.

    В задаче просят найти скорость

    м/с.

    м/с.

    вспомните про порядок действий

    Умножение приоритетней сложения и вычитания. Вспомните детский школьный пример: 2 + 2 · 2. Напомню, что здесь получается не 8, как считают некоторые, а 6.

    1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

    Так-что всё верно, посчитайте сами.

    2) умножение/деление (зависит от порядка в уравнении, что первое стоит — то и решается первым делом);

    3) сложение/вычитание (аналогично зависит от порядка в примере).

    Умножение = делению, сложение = вычитанию =>

    Не 54 — (36+2), а 54-36+2 = 54+2-36 = 20

    Во-первых, для вас — Сергей Батькович. Во-вторых, вы сами поняли, что и кому сказать хотели? Я вас не понял.

    Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени с.

    м/с.

    Точка движется прямолинейно по закону s t 2t 2

    создана: 16.12.2011 в 12:39
    .

    тело движется прямолинейно по закону S(t) = -1/6t 3 +1/2t 2 +7

    найти максимальную скорость движения тела.

    t-не существует t=24

    Как смогла так и решила)

    скорость это производная от расстояния.

    1. Нади производную от S

    2. Приравняй производную к нулю и найди критические точки

    3. Исследуй производную и выбери среди точек точку максимума(производная в этой точке меняет знак с + на -)

    как именно я найду производную?

    S(t) = -1/6 t 3 +1/2 t 2 +7 t>0

    v(t) = S'(t) = (-1/6)*3t 2 +(1/2)*2t

    v(t) = -t 2 /2 + t Функция квадратичная.

    График — парабола. Максимум в точке х0=-b/(2a) = -1/(-1) = 1 — точка максимума

    v(1) = -1/2 +1 = 1/2 = 0,5 — max cкорость

    Урок по теме: «Правила дифференцирования», 11-й класс

    Разделы: Математика

    Цели урока:

    • образовательные:
      • обобщить, систематизировать материал темы по нахождению производной;
      • закрепить правила дифференцирования;
      • раскрыть для учащихся политехническое, прикладное значение темы;
      • развивающие:
        • осуществить контроль усвоения знаний и умений;
        • развить культуру речи и умение делать выводы и обобщать;
        • воспитать у учащихся аккуратность при оформлении, целеустремленность.

        Оборудование:

        • карточки;
        • компьютеры;
        • таблица;
        • дифференцированные задания в виде мультимедиа презентации.
        • 2. Рассмотреть примеры применения производной в физике, химии, технике и других отраслях, предложенные учащимися.

          II. Актуализация знаний.

          Учитель:

          1. Дать определение производной функции.
          2. производная произведения;
          3. производная, содержащая постоянный множитель;
          4. производная частного;
          5. производная сложной функции;
          6. Ряд частных задач из различных областей наук.

            Задача № 1. Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулу для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.

            Задача № 2. Радиус круга R изменяется по закону R = 4 + 2t 2 . Определите, с какой скоростью изменится его площадь в момент t = 2 с. Радиус круга измеряется в сантиметрах. Ответ: 603 см 2 /с.

            Задача № 3. Материальная точка массой 5 кг движется прямолинейно по закону

            S(t) = 2t + , где S — путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с.

            Задача № 4. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3t — 0,1t 2 (рад). Найдите:

            Ответ: а) 2,86 ; б) 150 с.

            III. Выполнение дифференцированных заданий.

            Желающие выполнять задания уровня “А”, садятся за компьютер и выполняют тест с программированным ответом. (Приложение.)

            2. Найдите значение производной функции у = хе х в точке х0 = 1.

            1) 2е;
            2) е;
            3) 1 + е;
            4) 2 + е.

            1) ;
            2) 2;
            3) ;
            4) 0.

            4. Вычислите f / (1), если f (x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

            5. Найдите значение производной функции f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) в точке t0 = 1.

            6. Точка движется прямолинейно по закону: S(t) = t 3 – 3t 2 . Выбери формулу, которая задаёт скорость движения этой точки в момент времени t.

            Теоремы дифференцирования Решение задач Ипатова Елена Валерьевна Лицей 393 Кировский район. — презентация

            Презентация была опубликована 4 года назад пользователемДанила Лешаков

            Похожие презентации

            Презентация на тему: » Теоремы дифференцирования Решение задач Ипатова Елена Валерьевна Лицей 393 Кировский район.» — Транскрипт:

            1 Теоремы дифференцирования Решение задач Ипатова Елена Валерьевна Лицей 393 Кировский район

            2 Определение производной Доказать, что в точках х=2 и х= -2 функция не дифференцируема: Решение:

            3 Физический смысл производной Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)=2t 3 +5t 2 /2-7t+3(см). а) Найдите её скорость в момент времени t=1c. б)В какой момент времени ускорение будет 11см/с 2 ? Решение: 1)v(t)=x / (t)=6t 2 +5t-7; v(1)= =4(см/с) 2)а(t)=v / (t)=12t+5; 12t+5=11 t=0,5(c)

            4 Геометрический смысл производной К графику функции (х)=(2-х)/(х+3) проведена касательная в точке Напишите её уравнение с абсциссой х 0 = -4. Напишите её уравнение. Существует ли касательная, не совпадающая с данной и ей параллельная, проведённая к этому графику? Если существует, то напишите её уравнение Если существует, то напишите её уравнение. Решение: 1) ´(х)= -5/(х+3) 2, ´(-4)= -5, (-4)= -6, у кас =-5(х+4)-6= -5х-26 2) -5/(х+3) 2 = -5 х= -4 или х= -2, ´(-2)= -5, (-2)=4, у кас = -5(х+2)+4 = -5х-6

            5 Вычисление производной Найти f ´´ (9),f(x)= Решение: 1) 2)f´(9)= -1

            0, в) g´(x) 0. Решение: g´(x)=2(3x-1) 4 (18x-1) — + ч + х» title=»Производная Дана функция: g(х)=2х(3х-1) 5. Найти те значения х, при которых а) g´(x)=0,б) g´(x)>0, в) g´(x) 0. Решение: g´(x)=2(3x-1) 4 (18x-1) — + ч + х» class=»link_thumb»> 6 Производная Дана функция: g(х)=2х(3х-1) 5. Найти те значения х, при которых а) g´(x)=0,б) g´(x)>0, в) g´(x) 0. Решение: g´(x)=2(3x-1) 4 (18x-1) — + ч + х 0, в) g´(x) 0. Решение: g´(x)=2(3x-1) 4 (18x-1) — + ч + х»> 0, в) g´(x) 0. Решение: g´(x)=2(3x-1) 4 (18x-1) — + ч + х»> 0, в) g´(x) 0. Решение: g´(x)=2(3x-1) 4 (18x-1) — + ч + х» title=»Производная Дана функция: g(х)=2х(3х-1) 5. Найти те значения х, при которых а) g´(x)=0,б) g´(x)>0, в) g´(x) 0. Решение: g´(x)=2(3x-1) 4 (18x-1) — + ч + х»>

            7 Производная и многочлены Известно, что 4(2х+1) 15 =а 0 х 15 +а 1 х 14 +…+а 14 х+а 15. Найти 15а 0 -14а 1 +…-2а 13 +а 14. Решение: Пусть у(х)=4(2х+1) 15, тогда у´(х)=120(2х+1) 14, у´(-1) =120. По условию у(х)= а 0 х 15 +а 1 х 14 +…+а 14 х+а 15, у´(х)=15а 0 х а 1 х 13 +…+а 14, у´(-1)= 15а 0 -14а 1 +…-2а 13 +а 14. Получили: у´(-1)= 15а 0 -14а 1 +…-2а 13 +а 14 =120.

            8 Задачи 1)х(t)=2t 3 -2,5t 2 +3t+1,v(1)-? a(t)=19м/с 2, t-? 2) f(x)=(32-2x 2 )/х 2, f´(4)-? 3) (х)=(1-х)/(х+4), т- касательная к графику функции в точке с абсциссой х 0 = -3. Написать её уравнение и касательной а, параллельной т и проведённой к тому же графику. 4) g(x)=2х(1-х) 5,найти х, если а) g´(x)=0, б) g´(x) 0, в) g´(x) 0. 5)Доказать, что у=|1-х 2 | не дифференцируема в х=1 и х= -1. 6)Дано: (3-2х) 40 =а 0 х 40 +а 1 х 39 +…+а 39 х+а 40. Найти а а 1 +…+3. 2а 37 +2а 38.

            Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:

            Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

            Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

            Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:

            Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

            Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

            Материальная точка движется прямолинейно по закону

            x (t) = t 2 – 7t – 20

            где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

            Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

            Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

            где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

            x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

            где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

            Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:

            x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

            где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

            Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

            Gerere24.ru

            Тело движется по прямой по закону s t

            Урок по теме: «Правила дифференцирования», 11-й класс

            Разделы: Математика

            Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

              образовательные:

                обобщить, систематизировать материал темы по нахождению производной;

            • развить и совершенствовать умения применять знания в измененной ситуации;
            • воспитательные:
              • развить познавательный процесс;
              • воспитать у учащихся аккуратность при оформлении, целеустремленность.

              • кодоскоп, экран;
              • дифференцированные задания в виде мультимедиа презентации.

              I. Проверка домашнего задания.

              1. Заслушать сообщения учащихся по примерам применения производных.

              1. Какая операция называется дифференцированием?
              2. Какие правила дифференцирования используются при вычислении производной? (К доске приглашаются желающие учащиеся).
                • производная суммы;
                • Приведите примеры прикладных задач, приводящих к понятию производной.

              S(t) = 2t + , где S — путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с.

              Ответ: Н.

              Задача № 4. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3t — 0,1t 2 (рад). Найдите:

              а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 7с;
              б) в какой момент времени маховик остановится.

              Примерами применения производной также могут служить задачи на нахождение: удельной теплоемкости вещества данного тела, линейной плотности и кинетической энергии тела и т.д.

              1. Найдите значение производной функции в точке х0 = 3.

              3. Решите уравнение f / (x) = 0 , если f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

              1) t 2 – 2t;
              2) 3t 2 – 3t;
              3) 3t 2 – 6t;
              4) t 3 + 6t.

              Физический смысл производной. Задачи!

              Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

              Материальная точка движется прямолинейно по закону

              x (t) = t 2 – 7t – 20

              где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

              Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

              Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

              Материальная точка движется прямолинейно по закону

              x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

              x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

              где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

              Найдем закон изменения скорости:

              Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

              Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

              Тело движется по прямой по закону s t

              26 июняНовые варианты прошедших ЕГЭ по математике: здесь.

              5 июня Наши мобильные приложения могут работать оффлайн.
              Андроид iOS

              − Examer из Таганрога;
              − Учитель Думбадзе В. А.
              из школы 162 Кировского района Петербурга.

              При t = 9 c имеем:

              м/с.

              Зачем находить производную?

              Скорость — это производная координаты по времени.

              Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

              м/с.

              м/с.

              (6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16,, а не 20

              А с каких пор сложение предпочтительнее вычитания ?

              Вы, не поняли ответа гостя.

              1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

              2) умножение/деление (зависит от порядка в уравнении, что первое стоит — то и решается первым делом);

              Не 54 — (36+2), а 54-36+2 = 54+2-36 = 20

              Во-первых, для вас — Сергей Батькович. Во-вторых, вы сами поняли, что и кому сказать хотели? Я вас не понял.

              Найдем закон изменения скорости: м/с. При имеем:

              м/с.

              Зависимость скорости от времени для материальной точки имеет вид v = 2 + 6t. Написать уравнение для координаты, если в начальный момент времени тело находилось в точке с координатой -5 (все величины даны в системе СИ). Найти ускорение тела, путь и перемещение, пройденные им за 10 с.

              Какие ключевые понятия помогают нам выделить признаки, по которым мы определим характер движения тела? Прежде всего, это “скорость”, “координата”, “ускорение”, “путь”, “перемещение” — они в явном виде присутствуют в условии. Координат у тела может быть три (x, y, z), две (x, y) или одна (x). Раз нам сказано “найти координату” (а не координаты), то значит мы имеем дело с движением вдоль одной прямой (единственное число — одна координата — одна прямая). Итак, движение прямолинейное. Скорость — меняется или не меняется в процессе движения? Ответить на этот вопрос нам поможет уравнение для скорости. Из него мы видим, что в РАЗНЫЕ моменты времени t значения скорости v тоже РАЗНЫЕ. Значит, скорость меняется, значит движение не является равномерны, т.е. скорее всего одно равноускоренное. Для того, чтобы принять окончательное решение о характере движения тела, нужно вспомнить что-либо о свойствах равноускоренного движения и сравнить с нашей ситуацией. Вспоминаем. Ага, вспомнили: при равноускоренном движении справедливы два уравнения (одно для скорости, другое для перемещения), которые имеют вид: v = v 0 + a D t, D S = v0 D t + a D t 2 /2. В нашей задаче тоже есть уравнение для скорости. Давайте сравним наше уравнение и общее, напишем их рядышком друг с другом и внимательно посмотрим на них:

              Что мы должны обнаружить при СРАВНЕНИИ этих формул? Во-первых, чем они отличаются, а во-вторых, что в них одинакового. Главный вопрос, на который мы должны ответить, можно ли ПРОСТОЙ ПОДСТАНОВКОЙ превратить одну формулу в другую?

              Первое, что нужно сказать, что раз в задаче нет различных участков движения, то все времена измеряются от начального времени t 0 = 0 и тогда D t = t — t0 = t. Значит, отличие формул еще меньше, чем кажется на первый взгляд:

              Теперь ясно видно, что если вместо v 0 подставить 2, в вместо а подставить 6, то мы из первой формулы сразу получим вторую! Вывод, наша КОНКРЕТНАЯ формула для скорости является ЧАСТНЫМ случаем ОБЩЕЙ формулы для скорости равноускоренного движения. Следовательно, наше тело совершает равноускоренное движение. Причем, мы сразу можем сказать КОНКРЕТНЫЕ значения начальной скорости и ускорения нашего тела: v 0 =2 м/с, а = 6 м/с 2 .

              Теперь легко написать остальные конкретные уравнения для движения нашего тела. Чтобы их получить, нужно в общие уравнения равноускоренного движения подставить конкретные значения рассматриваемой частной ситуации. Значит, мы берем уравнение для перемещения D S = v0 D t + a D t 2 /2 и вместо D t пишем t, вместо v 0 пишем 2, вместо а пишем 6. Получаем D S = 2 t + 6 t 2 /2 = 2t + 3 t 2 . Наша задача — написать уравнение для координаты. Перемещение и координаты связаны, ведь если тело перемещается, то его координаты меняются. Как связаны эти величины? Смотрим в наш список; при прямолинейном движении D S = х — хо, откуда х = хо + D S. По условию начальная координата хо = -5, тогда уравнение для координаты принимает вид х = -5 + 2t + 3 t 2 . Осталось найти путь и перемещение. Перемещение находится простым вычислением значения D S = 2t + 3 t 2 при t = 10: т.е. D S = 2 · 10 + 3 · 10 2 = 320 м. Так при своем движении тело двигалось все время в одном направлении (координата только увеличивалась, точек поворота не было и тело назад не возвращалось), то путь будет совпадать с перемещением: S = D S = = 320 м.

              Уравнение движения материальной точки имеет вид x = 2t — 0,2 t 2 . Написать уравнение для скорости движения тела, найти ускорение, скорость, путь и перемещение через 8 секунд после начала движения.

              Для того, чтобы определить характер движения тела, мы в этой задаче имеем только уравнение для его координаты. Значит, мы должны сравнить это уравнение со всеми общими уравнениями движения, которые мы знаем. Нам известны пока лишь два типа движения: равномерное и прямолинейное равноускоренное. Для равномерного движения уравнение координаты имеет вид (это мы находим в списке основных кинематических величин) x = x 0 + v D t, но поскольку участок движения у нас в этой задаче один и время отсчитывается от нуля, то D t = t и окончательно x = x 0 + v t. Для равноускоренного движения уравнение выглядит следующим образом (смотрите предыдущую задачу, кроме того сразу учитываем, что D t = t) x = xo + vo t + a t 2 /2.

              Радикальное отличие этих двух уравнений: x = x 0 + v t и x = x o + vo t + a t 2 /2 заключается в том, что первое уравнение содержит t в первой степени, а второе во второй (t 2 ). Главный отличительный признак — есть или нет в уравнении для координаты квадрат времени: если нет — движение равномерное; если есть — движение равноускоренное! Теперь внимательно глядим на наше конкретное уравнение нашей конкретной задачи. Есть квадрат? Есть! Вывод? Наше тело движется равноускоренно. А так как положение тела описывается только одной координатой, то это движение прямолинейное (вдоль оси координат х).

              Прямолинейное равноускоренное движение описывается еще и уравнением для скорости v = v o + at. Чтобы это уравнение записать конкретно для нашей задачи, нужно знать конкретные значения для начальной скорости v o и ускорения а. Откуда мы их возьмем? У нас есть возможность сравнить ОБЩЕЕ и КОНКРЕТНОЕ уравнения для координаты:

              И то и другое уравнения описывают равноускоренное прямолинейное движение. Просто, первое записано в общем виде (без конкретных чисел), а второе уже с конкретными числами. Чтобы из общего уравнения получить конкретное, нужно вместо букв подставить числа. Спрашивается, вместо каких букв и какие числа нужно подставить в общее уравнение, чтобы из него получилось наше конкретное. Это тест на внимательность. Кто его прошел, тот заметил, что если вместо x o подставить 0 (если величины нет, значит ее значение ноль!), вместо v o подставить 2, вместо a/2 (вот где особая хитрость) подставить — 0,2 (не теряйте знак!), то получим сразу наше конкретное уравнение. Тогда мы можем сделать вывод, что для нашей конкретной задачи имеем: x o = 0, vo = 2, a/2 = — 0,2! Начальная координата равна нулю, т.е. тело в начальный момент времени тело находилось в начале координат. Начальная скорость равна 2 м/с. Половина (!) ускорения равна 0,2 м/с 2 , значит само ускорение равно а = — 0,4 м/с 2 . Теперь нам известны все параметры, необходимые для ПОЛНОГО описания равноускоренного прямолинейного движения. Уравнение для скорости принимает вид v = 2 — 0,4t. Итак, для нашего случая уравнения имеют вид: x = 2t — 0,2 t 2 , v = 2 — 0,4t. Зная уравнения движения можно найти ВСЕ, что только понадобиться узнать об этом движении.

              Через 8 с после начала движения, т.е. при t = 8, координата и скорость будут равны: x = 2 · 8 — 0,2 · 8 2 = 3,2 м, v = 2 — 0,4 · 8 = -1,2 м/с. Перемещение при прямолинейном движении всегда находится как D S = х — хо = 3,2 — 0 = 3,2 м. Осталось найти путь. Если в процессе движения тело движется все время в одном направлении, то путь совпадает с перемещением. Значит, первое, что мы должны определить, поворачивало ли тело назад или нет в течение нужных нам восьми секунд? Для этого есть несколько способов, но самый универсальный — построить график зависимости координаты от времени и на нем сразу все будет видно. График зависимости координаты от времени при равноускоренном движении имеет вид параболы.

              В нашем случае эта парабола описывается уравнением вида x = 2t — 0,2 t 2 . При квадратичном члене уравнения стоит ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ коэффициент (-0,2), что говорит о том, что ветви параболы идут ВНИЗ!

              Достаточно нарисовать этот график только схематично, чтобы увидеть наличие точки поворота: до момента времени t 1 координата тела увеличивалась, а после этого момента времени стала уменьшаться. Это и означает, что тело повернуло в обратную сторону. Если время t 1 больше восьми секунд (если t 1 > 8), то наше тело до восьми секунд двигалось без поворота. Чтобы сравнить t 1 со значением 8, нужно просто найти это t 1 . Но как это сделать? Мы уже раньше говорили о том, что там где у параболы вершина, там скорость равна нулю. Действительно, тело, прежде чем повернуть в обратную сторону, должно на мгновение остановиться. Значит, при t = t 1 должно быть v = 0. Иначе говоря, если в уравнение для скорости вместо t подставить t 1 , то вместо v мы одновременно должны подставить 0. Давайте сделаем это, тогда получим, что 0 = 2 — 0,4 t 1 . Отсюда находим время точки поворота t 1 = 2/0,4 = 5 с. Очевидно, 5 2 = 5 м. Значит за первые 5 с тело прошло 5 м вдоль оси координат. За оставшиеся 3 с тело вернулось обратно, дойдя до конечной точки с координатой 3,2 м (которую мы уже сосчитали выше). Двигаясь против оси координат от точки 5 до точки 3,2, тело прошло путь 5 — 3,2 = 1,8 м. Следовательно, полный путь, пройденный телом, составляет 5 + 1,8 = 6,8 м.

              В нашем случае у нас был еще один признак, говорящий о том, что у тела была точка поворота — это отрицательное значение скорости (-1,2 м/с). Знак “-” как раз и говорит о том, что скорость стала направлена в противоположном направлении (была 2, стала -1,2 — поменялся знак, поменялось направление). Однако, установив этот факт по знаку скорости, мы все равно в дальнейшем были бы вынуждены найти время точки поворота, разбить все движение на участки, найти путь на каждом участке и потом вычислить общий путь. То есть, мы все равно проделали бы все те же самые вычисления.

              Движение двух автомобилей по шоссе заданы уравнениями:

              x1 = 2t + 0,2t 2 и x 2 = 80 — 4t.

              Найти место и время встречи автомобилей. Найти расстояние между автомобилями через 5 с после начала отсчета времени. Найти координату первого автомобиля в тот момент, когда второй находился в начале координат.

              Какие ключевые признаки есть в условии, позволяющие нам проанализировать ситуацию? Признаки — “двух”, х 1 , х 2, t 2 , t, “встречи”, “расстояние”, 5, “начало отсчета”, “координата”, “начало координат”. Видим, что признаков много, но не все из них важны для первоначального анализа, т.е. для определения характера движения тел.

              Анализ признаков должен позволить отнести рассматриваемую ситуацию к какой-либо из известных нам моделей движения (на сегодняшний день мы с вами знаем только две таких модели: равномерное движение и равноускоренное движение).

              То, что речь идет о двух телах, ясно из текста. Положение каждого из них определяется своей координатой. Обе координаты обозначены одной и той же буквой x, значит тела движутся вдоль одной прямой (вдоль оси координат х). Чтобы мы могли отличать координату первого тела от координаты второго, у них стоят номера 1 или 2. Итак, движение прямолинейное. В уравнении движения первого тела стоит квадрат времени (t 2 ) — это явный признак равноускоренного движения. Значит первое тело движется прямолинейно и равноускоренно. В уравнении движения второго тела есть только время в первой степени (t) — это признак равномерного движения. Значит второе тело движется прямолинейно и равномерно. (К сожалению, у нас с вами нет времени сейчас углублять в такой интересный предмет как “Логика”, в котором рассматриваются важные для решения задач законы и правила. Там можно узнать о том, какие бывают определения, как правильно построить рассуждение, чем отличаются необходимые и достаточные условия или признаки и т.д.. Может быть когда-нибудь потом мы специально поговорим об этом, а сейчас давайте вернемся к решению задачи. )

              Давайте получше поймем, что происходит с нашими телами (т.е. с автомобилями). Для этого нужно представить себе, где они были в начальный момент времени, как они движутся, где окажутся через несколько секунд.

              Чтобы определить положение тел в начальный момент времени, нужно вычислить их координаты при t = 0. Подставим значение t = 0 в оба уравнения и получим: x 10 = 0, x20 = 80. Значит, в начальный момент времени первое тело находилось в начале координат, а второе на расстоянии 80 м от него в сторону увеличения координаты. Для удобства направим ось координат вправо, тогда второе тело в начальный момент времени находилось в восьмидесяти метрах правее первого. Чтобы лучше представить дальнейшее движение тел, давайте найдем их скорости и исследуем их поведение (скорость имеет величину, которая может меняться или не меняться, увеличиваться или уменьшаться; и направление, которое может быть направлено влево или вправо и тоже может меняться или оставаться постоянной).

              Для первого тела мы должны сравнить общие формулы равноускоренного движения и конкретные формулы движения нашего тела. Выпишем эти формулы рядом:

              формулы для координаты:

              формулы для скорости:

              В верхней строчке написаны общие формулы, а в нижней конкретные. Так как пока мы не знаем численных значений для начальной скорости и ускорения первого тела, то в конкретной формуле для скорости его движения на их местах стоят вопросительные знаки. Зато у нас есть возможность сравнить сразу формулы для координаты. Такое сравнение показывает, что при заменах x 10 = 0, v10 = 2, а 1 /2 = 0,2 обе формулы станут абсолютно тождественными (неотличимыми). Это сразу позволяет нам сделать вывод, что начальная скорость первого тела v 10 = 2 м/с, и его ускорение а 1 = 0,4 м/с 2 . Теперь мы знаем, чем нужно заменить знаки вопросов в уравнении для скорости первого тела: заменяем и получаем v 1 = 2 + 0,4t. В начальный момент времени его скорость была равна v 1 = 2 + 0,4 · 0 = 2 м/с. Это число положительное, значит скорость была направлена вдоль оси координат, т.е. в нашем случае вправо. В последующие моменты времени скорость продолжала оставаться положительной (т.е. все время направленной вправо) и увеличиваться по своему значению. Таким образом, первый автомобиль разгоняется из начала координат, двигаясь все время в правую сторону.

              второй автомобиль движется равномерно. В общем случае, координата тела при равномерном движении меняется по закону x 2 = x20 + v2 t. Для второго тела этот закон имеет следующий конкретный вид: x 2 = 80 — 4t. Сравнение общей и конкретной формул показывает, что начальная координата второго автомобиля x 20 = 80 м, а скорость его равномерного движения v 2 = — 4 м/с (обратите внимание на знак!). Скорость имеет отрицательный знак, значит она направлена против оси координат. Если наша ось направлена вправо, значит скорость второго тела направлена влево. Таким образом, второй автомобиль движется влево из точки, расположенной на 80 м правее правого автомобиля. Они едут навстречу друг другу!

              Если в начальный момент времени между машинами было расстояние 80 м, то через некоторое время это расстояние уменьшится (например, через 5 с). А еще через некоторое время эти автомобили встретятся (причем, место встречи будет где-то между началом координат и точкой с координатой 80). В реальной жизни эта встреча дорого бы обошлась обоим автомобилям, но в нашей задаче они спокойно прошли сквозь друг друга и как ни в чем ни бывало продолжили свое движение. Тогда еще через некоторое время второй автомобиль доедет до начала координат (где когда-то был автомобиль №1), а первая машина к этому времени уедет далеко вправо. Вот такое движение будут совершать тела в рассматриваемой задаче. Давайте нарисуем все это.

              Из рисунка видно, что расстояние s между машинами в момент времени t 1 = 5 с равно разности их координат: s = x 21 — x11 = 80 — 4t1 — (2t1 + 0,2t1 2 ) = 80 — 4 · 5 — 2 · 5 — 0,2 · 5 2 = 45 м.

              Встреча — это момент совпадения координат. В момент встречи t 2 координаты тел x 12 и x 22 совпали, т.е. стали равны: x 22 = x12 . Сами координаты находятся из уравнений для них, если в них подставить момент t 2 . Тогда для момента встречи имеем уравнение вида 80 — 4t 2 = 2t2 + 0,2t2 2 . Это выражение имеет одну букву — одну неизвестную величину t 2 , значит мы получили уравнение с одной неизвестной. Как решить это уравнение? Ничего не поделаешь, нужно вспоминать математику. Сначала перенесем все слагаемые в одну сторону: 0 = -80 + 4t 2 + 2t2 + 0,2t2 2 . Теперь приведем подобные (это второе и третье слагаемое): 0 = -80 + 6t 2 + 0,2t2 2 . Пытаемся по каким-либо признакам узнать тип этого уравнения (опять признаки, опять узнавание!). Главный признак уравнения — в какой наибольшей степени стоит неизвестная величина. Внимательно просматриваем с этой точки зрения все три слагаемых. Ага! Третье слагаемое стоит в квадрате, т.е. во второй степени (и степеней больше второй нет). Значит мы имеем дело с квадратным уравнением. Приводим уравнение к стандартному виду (a x 2 + b x + c = 0; но в этой стандартной и привычной для математиков формуле буква х обозначает не координату какого-либо тела, а просто неизвестную величину), получаем: 0,2t 2 2 + 6t2 -80 = 0. Теперь осталось вспомнить, как решается квадратное уравнение. Если память нас не подведет (или справочник, который конечно же у нас всегда под рукой), то мы вспомним, что квадратное уравнение вида a x 2 + b x + c = 0 имеет два решения (говорят, два корня):

              хпервое = (-b + Ц D)/(2a) хвторое = (-b + Ц D)/(2a).

              Буквой D обозначается дискриминант, который находится как D = b 2 — 4ac.

              Чтобы найти решение уравнения для времени встречи нам нужно применить общее решение квадратного уравнения к нашему конкретному уравнению. Для этого напишем общие и конкретные выражения рядом и сравним их (такую процедуру мы уже проделывали не раз). Итак:

              a x 2 + b x + c = 0 D = b 2 — 4ac

              0,2t2 2 + 6t2 -80 = 0 D = ? 2 — 4??

              хпервое = (-b + Ц D)/(2a) хвторое = (-b + Ц D)/(2a)

              В первой строчке записаны выражения общего вида, а во второй конкретного, причем там, где мы не знаем конкретных значений, стоят вопросительные знаки. Однако, мы легко заменим эти знаки числами, если внимательно посмотри на первую пару уравнений (которые записаны в первом столбике). Нижнее уравнение — это конкретный частный случай верхнего. Верхнее уравнение в точности переходит в нижнее, если принять (попробуйте тут остановиться, написать сначала самостоятельно значения для a, b и c, а потом проверьте себя).

              У меня получилось, что а = 0,2, b = 6 и с = -80. Теперь мы легко вычислим дискриминант D = 6 2 — 4 · 0,2 · (-80) = 100. Зная дискриминант, находим оба корня уравнения:

              t первое = (-6 + Ц 100)/(2 · 0,2) = 10, t второе = (-6 — Ц 100)/(2 · 0,2) = — 40.

              Итак, мы получили два решения, т.е. у автомобилей было два времени встречи. Если бы мы были математиками, мы бы на этом остановились. Но так как мы с вами физик, то мы знаем, что встреча у наших автомобилей могла произойти только один раз! После того как они встретились и разъехались снова, они продолжали удаляться друг от друга и встретиться более не могли. Вывод, из двух найденных нами моментов времени встречи на самом деле правильным является только один. Какой же, встает вопрос? Чтоб на него ответить, нужно понять физический смысл полученных решений. Первое время встречи не вызывает у нас никаких отрицательных эмоций. Действительно, вполне вероятно, что автомобили встретились через 10 с после начала отсчета времени (раз они ехали навстречу друг другу). Но вот второй момент времени выглядит подозрительно. Время -40 с означает, что это было за 4 0 секунд до начала отсчета времени. Однако, в этот момент времени тела должны были находиться еще дальше друг от друга, чем даже t = 0! Кроме того, по условию задачи нас вообще не интересует, что было ДО начала отсчета. Так что tвторое в нашем случае не имеет физического смысла и должно быть отброшено. Таким образом, время встречи автомобилей равно 10 с. Место встречи определяется общей координатой автомобилей, которую мы можем найти из любого уравнения. Мы возьмем уравнение движения второго автомобиля, так как оно проще (квадрат не надо вычислять). Тогда координата встречи будет x 22 = 80 — 4t первое = 80 — 4 · 10 = 40 м.

              Осталось определить координату первого тела в тот момент, когда второй находился в начале координат. Иначе говоря (смотрите на рисунок) нас интересует координата х 13 в момент времени t 3 когда было x 23 = 0. Чтобы найти координату х 13 нам нужно знать время t 3 . Но чтобы найти это время мы должны воспользоваться какой-то информацией (это всегда так, либо мы знаем ответ сразу, либо ищем его с помощью дополнительной информации, которую должны откуда-то извлечь). Информация всегда отвечает на какие-то вопросы. Нас интересует момент t 3 . Значит, спросим себя, а что мы знаем про момент t 3 ? Если мы еще раз перечитаем условие, то обнаружим лишь то, что в этот момент времени второй автомобиль находился в начале координат. Значит, для определение момента времени t 3 у нас имеется только одно условие x 23 = 0. Смысл этого условия прост: если в уравнение для координаты второго тела подставить время t 3 , то координата будет равна нулю. Превратим эти слова в действия, подставим в уравнение для координаты второго тела ноль вместо х 2 и t 3 вместо t. Получим: 0 = 80 — 4 t 3 . Это уравнение на момент времени t 3 , которое легко решается. Из него мы находим t 3 = 20 с.

              Еще одно последнее усилие, и решение закончено мое.

              Все что нам осталось сделать — подставить время t 3 = 20 c в уравнение для координаты первого тела и сосчитать, что же получится. Результат будет следующий: x 13 = 2t3 + 0,2t3 2 = 2 · 20 +0,2 · 20 2 = 120 м.

              Смотрите еще:

              • Правила по алгебре 11 Правила по алгебре 11 26 июняНовые варианты прошедших ЕГЭ по математике: здесь. 5 июня Наши мобильные приложения могут работать оффлайн. Андроид iOS − Учитель Думбадзе В. А. из школы 162 Кировского района Петербурга. Наша группа […]
              • Споры образуются в Споры образуются в 26 июняНовые варианты прошедших ЕГЭ по математике: здесь. 5 июня Наши мобильные приложения могут работать оффлайн. Андроид iOS − Учитель Думбадзе В. А. из школы 162 Кировского района Петербурга. Наша группа ВКонтакте […]
              • Под нормой международного права следует понимать 26 июняНовые варианты прошедших ЕГЭ по математике: здесь. 5 июня Наши мобильные приложения могут работать оффлайн. Андроид iOS − Учитель Думбадзе В. А. из школы 162 Кировского района Петербурга. Наша группа ВКонтакте Мобильные […]
              • Как оформить презентацию титульный лист Как правильно оформить презентацию? Простые советы! Как вы знаете, я преподаватель, и мне часто приходится указывать студентам на ошибки в презентациях к курсовой и дипломной работе. Сегодня я расскажу, как правильно оформить презентацию, […]
              • Приказ 80 от 2010 о морально О морально-психологическом обеспечении оперативно-служебной деятельности органов внутренних дел Российской Федерации МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИПРИКАЗ “11” февраля 2010 г. № 80 О морально-психологическом обеспечении […]
              • Как оформит список литературы для диплома Как правильно оформить список литературы в дипломе Список источников и литературы в дипломе или курсовой работе оформляется в соответствии с требованием внушительного набора библиографических ГОСТов: Р 7.1–2003, Р 7.0.5–2008, 7.82–2001, […]
              • Образец квитанции на оплату госпошлины паспорт рф Образец квитанции на оплату госпошлины за загранпаспорт старого образца Получить новое удостоверение личности для заграничных поездок без внесения определенной суммы в государственную казну сегодня не представляется возможным. Выбрав […]
              • Где написать заявление в суд Как самостоятельно подать исковое заявление в суд? Зачем подавать самостоятельно исковые заявления? Если на сегодняшний день работает большое количество юридических консультаций, которые могут оказать свои услуги в любое время. Вы […]