Правила суммы и разность чисел

Что такое сумма чисел

Определение суммы чисел

Суммой (лат. summa — итог, общее количество) чисел называется результат суммирования этих чисел: . В частности, если складывается два числа и , то

Задание. Найти сумму чисел:

1) и 2) и

Ответ.

Свойства суммы чисел

    Коммутативность:

Ассоциативность:

На основании этих свойств можем заключить, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется.

Дистрибутивность по отношению к умножению

Задание. Найти сумму чисел удобным способом:

1) ; 2)

Решение. По свойствам сложения имеем

Ответ. 1)

2)

При сложении больших чисел или десятичных дробей используется сложение в столбик.

1) ; 2)

Решение. Складываем эти числа в столбик, для этого запишем их друг под другом, разряд под разрядом. В случае десятичных дробей ориентируемся на то, чтобы запятая первого числа стояла под запятой второго. Далее складываем числа стоящие друг под другом, двигаясь справа на лево и записывая результата под чертой дроби. Если сумма чисел в одном столбце превышает десять, то количество десятков прибавляем к числам стоящим в следующем столбце слева от этого столбца:

Ответ. 1)

2)

Сложение рациональных дробей производится по правилу

1) ; 2)

Решение. Вычислим первую сумму используя правило сложения рациональных чисел

Числитель и знаменатель полученной дроби можно сократить на 2, тогда в ответе получим

Для вычисления второй суммы, преобразуем сначала второе слагаемое в неправильную дробь, для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим полученное число к числителю. Далее применим правило сложение рациональных дробей

Выделим в полученной дроби целую часть, для этого разделим числитель на знаменатель с остатком. Полученное частное запишем в целую часть, а остаток от деления в числитель.

Ответ. 1) ; 2)

Как найти разность чисел в математике

Арифметические действия с числами

  • частное — результат деления.
  • сумма — прибавить;
  • произведение — умножить;
  • Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.
  • Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
  • Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.
  • Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.
  • Как найти разницу величин

  • Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.
  • Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

    Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

    • Пример 3. Найти вычитаемое значение.
    • Решение: 17 — 7 = 10

      Даны целые значения: 56, 12, 4.

      12 и 4 — вычитаемые значения.

      1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):

      2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):

      Ответ: 40 — разница трёх значений.

    • Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.
    • Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где

      4/5 — уменьшаемая дробь,

      Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.

      Решение: 4/5 — 3/5 = (4 — 3)/5 = 1/5

      А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?

    • Удвоенное число — это величина, умноженная на два.
    • Утроенное число — это величина, умноженная на три.
    • Удвоенная разность — это разница величин, умноженная на два.
    • Утроенная разность — это разница величин, умноженная на три.
    • 2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 — разница чисел 7 и 5.

      7 — уменьшаемая величина;

    • Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.
    • И пусть в начале пути вычисления сводятся к примитивным примерам, всё у вас впереди. А освоить придётся немало. Мы видим, что действий с разными величинами в математике множество. Поэтому кроме разницы необходимо изучить, как вычислить и остальные результаты арифметических действий:

    • произведение — умножением множителей;
    • частное — делением делимого на делитель.
    • Основными арифметическими действиями в математике являются:

      Каждый результат этих действий также имеет своё название:

    • сумма — результат, получившийся при сложении чисел;
    • произведение — результат умножения чисел;
    • Это интересно: что такое модуль числа?

    • разность — отнять;
    • частное — разделить.
    • Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

    • Это вычитание одного числа из другого.
    • Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

    • Уменьшаемое — это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
    • Вычитаемое — это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.
    • Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
    • Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
    • Математические действия с разностью чисел

      Решение: 20 — 15 = 5

      Решение: 32 + 48 = 80

      Ответ: вычитаемое значение 10.

      Более сложные примеры

      Решение можно выполнить двумя способами.

      1) 56 — 12 = 44 (здесь 44 — получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);

      1) 12 + 4 = 16 (где 16 — сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);

      Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?

      Математика для блондинок

      В школе подобные действия с математическими величинами нас учили вычислять в столбик, а позднее — на калькуляторе. Калькулятор — это также удобное подспорье. Но, для развития мышления, интеллекта, кругозора и других жизненных качеств, советуем производить арифметические действия на бумаге или даже в уме. Красота человеческого тела — это великое достижение современного фитнес-плана. Но мозг — это тоже мышца, которая требует иногда её качать. А значит, не откладывая, начинайте думать.

      Слово «разность» может употребляться во многих значениях. Это может означать и разницу чего-либо, например, мнений, взглядов, интересов. В некоторых научных, медицинских и других профессиональных сферах этим термином обозначают разные показатели, к примеру, уровня сахара в крови, атмосферного давления, погодных условий. Понятие «разность», как математический термин тоже существует.

    • разность — результат, получившийся при вычитании чисел;
    • Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

      Разность в математике

      • Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
      • Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
      • Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.
      • И все эти определения являются верными.

      • Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.
      • Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

        Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.

        Простые примеры

        • Пример 1. Найти разницу двух величин.
        • 20 — уменьшаемое значение,

          Ответ: 5 — разница величин.

        • Пример 2. Найти уменьшаемое.
        • 32 — вычитаемое значение.

          17 — уменьшаемая величина.

          На примерах 1—3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.

        • Пример 4. Найти разницу трёх значений.
        • 56 — уменьшаемое значение,

        • Пример 6. Утроить разницу чисел.
        • Вновь прибегнем к правилам:

          7 — уменьшаемая величина,

          5 — вычитаемая величина.

        • Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.

        И опять есть применяемое для конкретного случая правило:

        Ответ: — 11. Это отрицательное значение и есть разница двух величин, при условии, что вычитаемая величина больше уменьшаемой.

        Во Всемирной паутине можно найти массу тематических сайтов, которые ответят на любой вопрос. Точно так же в любых математических расчётах вам помогут онлайн-калькуляторы на любой вкус. Все расчёты, производимые на них, прекрасное подспорье для торопливых, нелюбознательных, ленивых. Математика для блондинок — один из таких ресурсов. Причём прибегаем к нему мы все, независимо от цвета волос, пола и возраста.

      • сумму — сложением слагаемых;
      • Вот такая интересная арифметика.

        1-й класс Математика. «Сумма и значение суммы»

        Цели:

      • Познакомить и формировать умение пользоваться математическими терминами » сумма», » значение суммы». Совершенствовать вычислительные навыки.
      • Развивать умения сравнивать , анализировать, обобщать. Развивать математическую речь, интерес к математике.
      • Воспитывать самостоятельность, дисциплинированность, умение работать в коллективе.
      • Оборудование: Мел, доска, карточки, мультимедийная установка, презентация.

        1. Организация класса на урок.

        2. Сообщение темы и целей урока:

        Сегодня на уроке мы будем открывать и раскрывать тайны математики. Итак, в путь!

        3. Знакомство с новым материалом.

        Ребята, а вы любите сказки? А сказки Уолта Диснея? Сейчас я зачитаю отрывок из сказки, а вы попробуйте догадаться о ком идет речь.

        Просыпайся, друг Филин!- весело крикнул зайчонок Толстячок.- Новый принц родился!

        Радостная весть мгновенно облетела лес, и все лесные жители спешили посмотреть на новорожденного олененка. Они умилялись, глядя на то, как он пытается встать. Его ножки были еще слишком слабыми, и он все время падал.

        Кто его узнал? Это, действительно, олененок по имени Бемби. И вот однажды наступило время познакомить его с лесом Из сказки мы с вами знаем, что Бемби любознательный, поэтому он приходил в восторг от всего, что видел вокруг.

        Давайте мы с вами отправимся с олененком в необычный «лес-математики».

        Олененок попадает на полянку и видит множество цветов. Но присмотревшись поближе , он замечает, что цветы хранят в себе какую-то тайну.

        Помогите ему разгадать эту тайну.

        Посмотрите и скажите, что вы видите? Какие всевозможные математические записи мы можем составить?

        Формулы сокращённого умножения

        При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

        Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

        Разность квадратов

        Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

        a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

      • 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
      • 9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
      • Квадрат суммы

        Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

        (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

        Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

      • Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
        112 = 100 + 1
      • Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
        112 2 = (100 + 12) 2
      • Воспользуемся формулой квадрата суммы:
        112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
      • Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

      • (8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
      • Квадрат разности

        Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

        (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

        Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

        Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

        (a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

        Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

        (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

        Как запомнить куб суммы

        Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

      • Выучите, что в начале идёт « a 3 ».
      • Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3 .
      • Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1 . (a 0 = 1, b 0 = 1) . Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени « a » и увеличение степени « b ». В этом можно убедиться:
        (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
      • Предостережение!

        Куб разности

        Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

        (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

        Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « − ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « − », затем опять « + » и т.д.

        (a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

        Сумма кубов

        Не путать с кубом суммы!

        Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

        a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

        Сумма кубов — это произведение двух скобок.

      • Первая скобка — сумма двух чисел.
      • Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
        (a 2 − ab + b 2 )
        Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
      • Разность кубов

        Не путать с кубом разности!

        Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

        a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

        Будьте внимательны при записи знаков.

        Применение формул сокращенного умножения

        Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

        Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

      • a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
      • (aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2
      • Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».

        21. Куб суммы и куб разности. Правила

        При любых значениях a и b верно равенство

        ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . (1)

        ( a + b ) 3 = ( a + b ) ( a 2 + 2 a b + b 2 ) =

        = a 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b 2 + b 3 =

        = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

        Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b,
        то оно является тождеством. Это тождество называется
        формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b
        подставить какие-нибудь выражения, например 5 y 3 и 2 z ,
        то опять получится тождество.

        ( 5 y 3 + 2 z ) 3 = 125 y 9 + 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 + 8 z 3 . (2)

        Поэтому формула куба суммы читается так:

        куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения
        плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,
        плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго,
        плюс куб второго выражения.

        ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 . (3)

        ( a − b ) 3 = ( a − b ) ( a 2 − 2 a b + b 2 ) =

        = a 3 − 2 a 2 b + a b 2 − a 2 b + 2 a b 2 − b 3 =

        = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

        Так как равенство (3) верно при любых значениях a и b,
        то оно является тождеством. Это тождество называется
        формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b
        подставить какие-нибудь выражения, например 5 y 3 и 2 z ,
        то опять получится тождество.

        ( 5 y 3 − 2 z ) 3 = 125 y 9 − 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 − 8 z 3 . (4)

        Поэтому формула куба разности читается так:

        куб разности двух выражений равен кубу первого выражения
        минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,
        плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго,
        минус куб второго выражения.

        Задачи на тему «Куб суммы и куб разности»

        Используя формулу куба суммы или куба разности, преобразуйте выражение
        в многочлен стандартного вида и выберите правильный ответ.

        1) = a 3 − 3 a 2 c + 3 a c 2 − c 3

        2) = a 3 − 3 a 2 c + 3 a c 2 + c 3

        3) = a 3 − 3 a c 2 + 3 a c 2 − c 3 Неверно. Не кликай на пустое поле. ( x + 2 y ) 3 =

        1) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 4 y 3

        2) = x 3 + 6 x 2 y + 12 x y 2 + 8 y 3

        3) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 8 y 3 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. ( 3 a − 2 b ) 3 =

        1) = 27 a 3 − 27 a 2 b + 12 a b 2 − 8 b 3

        2) = 27 a 3 − 54 a 2 b + 36 a b 2 − 8 b 3

        3) = 27 a 3 − 18 a 2 b + 18 a b 2 − 8 b 3 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. (

        Смотрите еще:

        • Устройство огнетушителей и правила их применения Устройство огнетушителей и правила их применения - Присоединиться! Подписаться на новости Главная → Для родителей → Типы огнетушителей и их применение Большинство детей и уж тем более все взрослые знают о существовании огнетушителей, […]
        • Какую пенсию получает инвалид 2 группы Пенсия по инвалидности 2 группы в 2018 году Присвоение любых форм инвалидности в России происходит исключительно по медико-социальным показателям. Назначение инвалидности 2 категории допустимо для людей, считающихся нетрудоспособными, но […]
        • Рассчитать налог на прибыль за 4 квартал Особенности уплаты налога на прибыль Уплата налога на прибыль имеет некоторые особенности, с которыми мы постараемся разобраться в статье ниже. Каков срок уплаты налога на прибыль? Что такое авансовые платежи и как их […]
        • Стаж работы по списку 1 и 2 Льготная пенсия по вредности в 2018 году Общая информация Граждане, которым положена льготная пенсия по вредности, обязательно должны отработать не менее 10 лет в опасных и вредных условиях. В случае если стажа не хватает, выход на […]
        • Как оформить платежку пени Пени: платежное поручение (образец) Актуально на: 30 мая 2017 г. Пени по НДФЛ (образец платежного поручения) При несвоевременном перечислении налогов и взносов, плательщик должен уплатить пени (ст. 75 НК РФ, ст. 26.11 Федерального закона […]
        • Нормальный закон плотность Нормальный закон плотность Вопросы для самоконтроля Как задается нормальный закон распределения? Свойства дифференциальной функции распределения нормального закона. Как изменяется кривая нормального распределения при изменении ее […]
        • ХфМент в законе Мент в законе 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 сезон смотреть онлайн Сериал «Мент в законе» о настоящих ценностях в отделе расследований. О настоящих мужчинах, которые готовы грызть глотки любому, кто решит нарушить покой в их городе. Честь и […]
        • Минимальная пенсия по старости в омске в 2018 году Размер минимальной пенсии в Омске в 2018 году О системе пенсионных выплат в Омской области Для граждан, которые не были заняты трудовой деятельностью и имеют небольшой стаж, недостаточный для страховой части, получают выплаты, размер […]