Граница по правилу лопиталя

Оглавление:

Правило Лопиталя с примерами

Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет правило Лопиталя. В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.

1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.

Если = 0, то , если последний существует.

2. Неопределенность вида ∞/∞ Второе п. Л.

Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей.

Если = ∞, то , если последний существует.

3. Неопределенности 0⋅∞, ∞- ∞, 1 ∞ и 0 0 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем преобразований. Такая запись служит для краткого указания случая при отыскании предела. Каждая неопределенность раскрывается по своему. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, пока не избавимся от неопределенности. Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных удается преобразовать к более удобному виду легче, чем отношение функций.

  • 0⋅∞ произведение двух функций, первая стремится к нулю, вторая к бесконечности;
  • ∞- ∞ разность функций, стремящихся к бесконечности;
  • 1 ∞ степень, ее основание стремится к единице, а показатель к бесконечности;
  • ∞ 0 степень, ее основание стремится к бесконечности, а степень к нулю;
  • 0 0 степень, ее основание стремится к 0 и показатель тоже стремятся к нулю.
  • Пример 1. В этом примере неопределенность 0/0

    Пример 2. Здесь ∞/∞

    В этих примерах производные числителя делим на производные знаменателя и подставляем предельное значение вместо х.

    Пример 3. Вид неопределенности 0⋅∞ .

    Неопределенность 0⋅∞ преобразуем к ∞/∞, для этого х переносим в знаменатель в виде дроби 1/x , в числителе пишем производную от числителя, а в знаменателе производную от знаменателя.

    Пример 4 Вычислить предел функции

    Здесь неопределенность вида ∞ 0 Сначала логарифмируем функцию, затем найдем от нее предел

    Для получения ответа надо е возвести в степень -1, получим e -1 .

    Пример 5. Вычислить предел от если x → 0

    Решение. Вид неопределенности ∞ -∞ Приведя дробь к общему знаменателю перейдем от ∞-∞ к 0/0. Применим правило Лопиталя, однако снова получим неопределенность 0/0, поэтому п. Л. надо применить второй раз. Решение имеет вид:

    = = = =
    = =

    Пример 6 Решить

    Решение. Вид неопределенности ∞/∞, раскрыв ее получим

    = = = 0.

    В случаях 3), 4), 5) сначала логарифмируют функцию и находят предел логарифма, а затем искомый предел е возводим в полученную степень.

    Пример 7. Вычислить предел

    Решение. Здесь вид неопределенности 1 ∞ . Обозначим A =

    Тогда lnA = = = = 2.

    Основание логарифма е, поэтому для получения ответа надо е возвести в квадрат, получим e 2 .

    Иногда бывают случаи, когда отношение функций имеет предел, в отличие от отношения производных, которое не имеет его.

    Т.к. sinx ограничен, а х неограниченно растет, второй член равен 0.

    Эта функция не имеет предела, т.к. она постоянно колеблется между 0 и 2, к этому примеру неприменимо п. Л.

    Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные числителя и знаменателя). Описание правила смотри ниже.

    Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

    Правило Лопиталя

    Если выполняются следующие условия:

  • пределы функций f(x) и g(x) равны между собой и равны нулю или бесконечности:
    или ;
  • функции g(x) и f(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;
  • и существует предел отношения производной f(x) к производной g(x):
  • Тогда существует предел отношения функций f(x) и g(x):
    ,

    И он равен пределу отношения производной функции f(x) к производной функции g(x):

    + — сложение
    — вычитание
    * — умножение
    / — деление
    ^ — возведение в степень

    и следующих функций:

  • rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
  • exp — e в указанной степени
  • lb — логарифм по основанию 2
  • lg — логарифм по основанию 10
  • tg — тангенс
  • arcsin — арксинус
  • arctg — арктангенс
  • arcsec — арксеканс
  • versin — версинус
  • haversin — гаверсинус
  • excsc — экскосеканс
  • ch — гиперболический косинус
  • th — гиперболический тангенс
  • sech — гиперболический секанс
  • abs — абсолютное значение (модуль)
  • sgn — сигнум (знак)
  • Введите функцию и точку для предела, которому надо применить правило Лопиталя

    Вычислим предел функции с помощью правила Лопиталя. Вы введёте функцию, для которой требуется вычислить предел и точку в которой предел должен сходиться.

        • 1
        • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
            • 0
            • ((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x
              • ((1+x)^5-(1+5*x))/(x^2+x^5)
                • +oo
                • (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)/(5*x-1)^5
                  • ( cos(x*e^x) — cos(x*e^(-x)) )/x^3
                    • ( sinh(x) )^2 / ln( cosh(3*x) )
                    • Правила ввода выражений и функций

                      Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

                      absolute(x) Абсолютное значение x
                      (модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
                      (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число — «Пи», которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

                      В выражениях можно применять следующие операции:

                      Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание

                      Лекция 23. Правило Лопиталя

                      Доказанные в предыдущей лекции теоремы имеют важные приложения, в частности, теорема Коши приводит к ново­му для, нас методу вычисления пределов.

                      Задача 1 (правило Лопиталя)

                      Пусть f(x) и g (x) дифференцируемы в точке x0, причём

                      Ø Доопределим заданные функции в точке x0, а именно, f(xo) = g(xo) =0. Тогда согласно теореме Коши найдётся такая точка ξ (x,x0), в которой выполняется соотношение

                      Вычисление предела от этого соотношения

                      приводит к правилу Лопиталя (*). >

                      *Предел частного дифференцируемых функций, в случае неопределённости вида (0/0), равен пределу частного производных функций, если этот предел существует.

                      Замечание 3. Правило Лопиталя можно применять для вычисления предела в бесконечно удаленной точке.

                      Замечание 4. Правило Лопиталя после простого преобра­зования можно применять для раскрытия неопределённостей вида (0•∞).

                      Свести неопределённость вида ( ∞ — ∞) к неопределённости вида (0/0).

                      Замечание 5. Правило Лопиталя можно применять для раскрытия неопреде -лённостей вида (∞ — ∞), поскольку она сводится к неопределённости вида (0/0).

                      Свести неопределённости вида (1∞), (0∞), (∞ ) к неопределён­ности вида (0 • ∞)

                      Замечание 6. Правило Лопиталя после логарифмирования можно применять для раскрытия неопределённостей вида

                      Правило Лопиталя: теория и примеры решений

                      Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей

                      Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

                      Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

                      Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

                      Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю

                      (),

                      то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

                      Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности

                      (),

                      ().

                      Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

                      Замечания.

                      1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a.

                      2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

                      3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).

                      К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

                      Раскрытие неопределённостей видов «ноль делить на ноль» и «бесконечность делить на бесконечность»

                      Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

                      Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем

                      В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе — производную сложной логарифмической функции. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо икса двойку.

                      Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

                      .

                      Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

                      Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

                      .

                      Пример 4. Вычислить

                      .

                      Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

                      Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

                      Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

                      .

                      Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

                      Пример 6. Вычислить

                      .

                      Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.

                      Пример 7. Вычислить

                      .

                      Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида — ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

                      Пример 8. Вычислить

                      .

                      Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

                      Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

                      Пример 9. Вычислить

                      .

                      Подсказка. Здесь придётся попыхтеть несколько больше обычного над преобразованием выражений под знаком предела.

                      Пример 10. Вычислить

                      .

                      Подсказка. Здесь правило Лопиталя придётся применять трижды.

                      Раскрытие неопределённостей вида «ноль умножить на бесконечность»

                      Пример 11. Вычислить

                      .

                      (здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как

                      а затем применили правила Лопиталя).

                      Пример 12. Вычислить

                      .

                      В этом примере использовано тригонометрическое тождество .

                      Раскрытие неопределённостей видов «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль» и «один в степени бесконечность»

                      Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

                      Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .

                      Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

                      Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.

                      Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

                      .

                      .

                      .

                      Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

                      .

                      .

                      .

                      Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

                      .

                      Вычисляем предел выражения в показателе степени

                      .

                      Раскрытие неопределённостей вида «бесконечность минус бесконечность»

                      Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости «бесконечность минус бесконечность»: .

                      Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:

                      В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.

                      Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

                      .

                      Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

                      .

                      Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

                      пределы — Как решить без правила Лопиталя $%lim _ $%?

                      задан 1 Фев ’13 0:54

                      Здесь достаточно знать «первый замечательный предел»: отношение $%\sin t$% к числу $%t$% стремится к $%1$% при $%t\to0$%. Это же правило применимо, если синус заменить на тангенс. Тут надо числитель и знаменатель дроби, предел которой требуется найти, разделить на $%x$%, и в ответе получается $%6/2=3$%.

                      Кстати, применять правило Лопиталя здесь было бы неуместно уже по той причине, что требуется знать производные тригонометрических функций. Однако, доказательство равенства $%(\sin x)’=\cos x$% опирается как раз на «первый замечательный предел». Фактически, оно сложнее, чем разбираемый пример.

                      отвечен 1 Фев ’13 3:28

                      $%sin 6x=sin2x(3-4sin^22x)$% — по формуле тройного угла. Также $%tg 2x=sin2x/cos2x$%. Тогда $%sin 6x/ tg2x =cos2x(3-4sin^22x)$%. Данное выражение при условии, что х стремится к 0, стремится к 3. В общем можно обойтись и без замечательных пределов, и без правила Лопиталя

                      отвечен 6 Фев ’13 0:48

                      Здравствуйте

                      Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

                      задан
                      1 Фев ’13 0:54

                      показан
                      1882 раза

                      обновлен
                      6 Фев ’13 0:48

                      Пределы функции не используя правило лопиталя

                      Вычислить предел, используя правило Лопиталя

                      Для разминки разберёмся с парой небольших воробушков:

                      Вычислить предел по правилу Лопиталя

                      Предел можно предварительно упростить, избавившись от косинуса, однако проявим уважение к условию и сразу продифференцируем числитель и знаменатель:

                      В самом процессе нахождения производных нет чего-то нестандартного, так, в знаменателе использовано обычное правило дифференцирования произведения .

                      Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.

                      Это пример для самостоятельного решения. Нормально пошутил =)

                      Типична ситуация, когда после дифференцирования получаются трех- или четырёхэтажные дроби:

                      Напрашивается применение замечательной эквивалентности, но путь жёстко предопределён по условию:

                      После дифференцирования настоятельно рекомендуюизбавляться от многоэтажности дробии проводить максимальные упрощения. Конечно, более подготовленные студенты могут пропустить последний шаг и сразу записать: , но в некоторых пределах запутаются даже отличники.

                      Вычислить предел, используя правило Лопиталя

                      Это примеры для самостоятельного решения. В Примере 7 можно ничего не упрощать, слишком уж простой получается после дифференцирования дробь. А вот в Примере 8 после применения правила Лопиталя крайне желательно избавиться от трёхэтажности, поскольку вычисления будут не самыми удобными. Полное решение и ответ в конце урока. Если возникли затруднения – тригонометрическая таблица в помощь.

                      И, упрощения совершенно необходимы, когда после дифференцирования неопределённостьне устранена.

                      Интересно, что первоначальная неопределённость после первого дифференцирования превратилась в неопределённость , и правило Лопиталя невозмутимо применяется дальше. Также заметьте, как после каждого «подхода» устраняется четырёхэтажная дробь, а константы выносятся за знак предела. В более простых примерах константы удобнее не выносить, но когда предел сложный, упрощаем всё-всё-всё. Коварство решённого примера состоит ещё и в том, что при , а , поэтому в ходе ликвидации синусов немудрено запутаться в знаках. В предпоследней строчке синусы можно было и не убивать, но пример довольно тяжелый, простительно.

                      На днях мне попалось любопытное задание:

                      Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

                      Если честно, немного засомневался, чему будет равен данный предел. Как демонстрировалось выше, «икс» более высокого порядка роста, чем логарифм, но «перетянет» ли он логарифм в кубе? Постарайтесь выяснить самостоятельно, за кем будет победа.

                      Да, правила Лопиталя – это не только пальба по воробьям из пушки, но ещё и кропотливая работа….

                      В целях применения правил Лопиталя к бубликам или уставшим восьмёркам сводятся неопределённости вида .

                      Расправа с неопределённостью подробно разобрана в Примерах №№9-13 урокаМетоды решения пределов. Давайте для проформы ещё один:

                      На первом шаге приводим выражение к общему знаменателю, трансформируя тем самым неопределённость в неопределённость . А затем заряжаем правило Лопиталя:

                      Здесь, к слову, тот случай, когда четырёхэтажное выражение трогать бессмысленно.

                      Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

                      Предел здесь односторонний, и о таких пределах уже шла речь в методичке Графики и свойства функций. Как вы помните, графика «классического» логарифма не существует слева от оси , таким образом, мы можем приближаться к нулю только справа.

                      Правила Лопиталя для односторонних пределов работают, но сначала необходимо разобраться с неопределённостью . На первом шаге делаем дробь трёхэтажной, получая неопределённость , далее решение идёт по шаблонной схеме:

                      После дифференцирования числителя и знаменателя избавляемся от четырёхэтажной дроби, чтобы провести упрощения. В результате нарисовалась неопределённость . Повторяем трюк: снова делаем дробь трёхэтажной и к полученной неопределённости применяем правило Лопиталя ещё раз:

                      Исходный предел можно было попытаться свести к двум бубликам:

                      Но, во-первых, производная в знаменателе труднее, а во-вторых, ничего хорошего из этого не выйдет.

                      Таким образом, перед решением похожих примеров нужно проанализировать (устно либо на черновике), К КАКОЙ неопределённости выгоднее свести – к «нулю на ноль» или к «бесконечности на бесконечность».

                      Для устранения неопределённости используем основное логарифмическое тождество: . В данном случае :

                      На предпоследнем шаге, согласно известному школьному свойству, «сносим» синус из степени за пределы логарифма, получая произведение . На последнем шаге перемещаем значок предела в показатель (поскольку экспоненциальная функция непрерывна, да и предел относится, прежде всего, к верхнему этажу).

                      Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:

                      С неопределённостью разбираемся уже знакомым способом – делаем дробь трёхэтажной, получая долгожданную неопределённость , к которой применимо правило Лопиталя:

                      Не торопитесь, предел не равен нулю! Мы вычислили только предел показателя. В конце решения главное не забыть про экспоненту, я сейчас сам чуть про неё не забыл =) Окончательно:

                      В ряде случаев после использование основного логарифмического тождества удаётся миновать неопределённость :

                      В результате сразу получена неопределённость , что облегчает задачу. Предел показателя для удобства вычислим отдельно:

                      Полное решение и ответ в конце урока.

                      Предел с неопределённостью по правилу Лопиталя, если честно, у себя не нашёл, но для полноты картины решим многострадальный шестой пример урока Замечательные пределы:

                      Вычислить с помощью правила Лопиталя

                      В заключение хочу успокоить гринписовцев – ни один воробей от оружия серьёзно не пострадал, пределы – птицы юркие, да и ядра формы обтекаемой. Вспоминаем обычное требование: «…не пользуясь правилом Лопиталя». С беспощадной действительностью соприкоснёмся в статье Сложные пределы.

                      Пример 14
                      Используем основное логарифмическое тождество и преобразование:

                      Вычислим предел показателя:

                      Пример 15
                      Используем основное логарифмическое тождество:

                      Версия системы:
                      7.47 (16.04.2018)

                      Общие новости:
                      13.04.2018, 10:33

                      Последний вопрос:
                      13.07.2018, 19:52

                      Последний ответ:
                      13.07.2018, 17:32

                      Последняя рассылка:
                      13.07.2018, 22:45

                      РАЗДЕЛ • Математика

                      Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

                      [администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

                      Лучшие эксперты в этом разделе

                      Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

                      Найти предел функции, не используя правило Лопиталя.

                      ——
                      Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения) :

                      Состояние: Консультация закрыта

                      По-моему, задание можно выполнить следующим образом. Имеем Примем Тогда

                      0

                      Отправлять сообщения
                      модераторам могут
                      только участники портала.
                      ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
                      регистрация »

                      ID: 400938

                      Как в конце единицу получили?

                      Гордиенко Андрей Владимирович
                      Модератор

                      ID: 17387

                      Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
                      Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

                      Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя

                      Нахождение предела функции, по правилу Лопиталя, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞.

                      Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные числителя и знаменателя). Описание правила смотри ниже.

                      Предел функции в точке — правило Лопиталя

                      Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

                      Точка в которой необходимо посчитать предел

                      • производная функции g(x) не равна нулю в проколотой окрестности a
                      • и существует предел отношения производной f(x) к производной g(x):

                      И он равен пределу отношения производной функции f(x) к производной функции g(x):

                      В формуле допускается использование числа пи (pi), экспоненты (e), следующих математических операторов:

                      + — сложение
                      — вычитание
                      * — умножение
                      / — деление
                      ^ — возведение в степень

                    • sqrt — квадратный корень
                    • rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
                    • ln — натуральный логарифм (по основанию e)
                    • logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
                    • sin — синус
                    • cos — косинус
                    • ctg — котангенс
                    • sec — секанс
                    • cosec — косеканс
                    • arccos — арккосинус
                    • arcctg — арккотангенс
                    • arccosec — арккосеканс
                    • vercos — коверсинус
                    • exsec — экссеканс
                    • sh — гиперболический синус
                    • cth — гиперболический котангенс
                    • csch — гиперболический косеканс
                    • Предел функции, правило Лопиталя

                      Применение правила Лопиталя необходимо для вычисления пределов при получении неопределенностей вида » open=» 0 0 и » open=» ∞ ∞ .

                      Имеются неопределенности вида » open=» 0 · ∞ и » open=» ∞ — ∞ .

                      Самой важной частью правила Лопиталя является дифференцирование функции и нахождение ее производной.

                      Правило Лопиталя

                      Когда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = » open=» 0 0 или » open=» ∞ ∞ и функции f ( x ) , g ( x ) являются дифференцируемыми в пределах точки х 0 , тогда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 f ‘ ( x ) g ‘ ( x ) .

                      Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров.

                      Произвести вычисления, применив правило Лопиталя lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) .

                      Для решения по правилу Лопиталя для начала необходимо произвести подстановку. Получаем, что lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = sin 2 ( 3 · 0 ) 0 · cos ( 0 ) = » open=» 0 0 .

                      Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило. Получаем, что

                      lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = » open=» 0 0 = lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) ‘ x · cos ( x ) ‘ = lim x → 0 2 sin ( 3 x ) ( sin ( 3 x ) ) ‘ x ‘ · cos ( x ) + x · ( cos ( x ) ) ‘ = = lim x → 0 6 sin ( 3 x ) cos ( 3 x ) cos ( x ) — x · sin ( x ) = 6 sin ( 3 · 0 ) cos ( 3 · 0 ) cos ( 0 ) — 0 · sin ( 0 ) = 0 1 = 0

                      Ответ: lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = 0 .

                      Вычислить предел заданной функции lim x → ∞ ln ( x ) x .

                      Производим постановку бесконечностью. Получаем, что

                      lim x → ∞ ln ( x ) x = ln ( ∞ ) ∞ = » open=» ∞ ∞

                      Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что

                      lim x → ∞ ln ( x ) x = » open=» ∞ ∞ = lim x → ∞ ln ( x ) ‘ x ‘ = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

                      Ответ: lim x → ∞ ln ( x ) x = 0

                      Вычислить предел заданной функции lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) )

                      Производим подстановку значения x . получаем, что

                      lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = ( 0 + 0 ) 4 · ln ( 0 + 0 ) = » open=» 0 · ( — ∞ )

                      Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела. После преобразования применяем правило Лопиталя. Получаем, что

                      lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = ln ( 0 + 0 ) ( 0 + 0 ) — 4 = » open=» — ∞ + ∞

                      Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что

                      lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = » open=» — ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 ( ln ( x ) ) ‘ ( x — 4 ) ‘ = lim x → 0 + 0 1 x — 4 — 5 = — 1 4 lim x → 0 + 0 1 x — 4 = — 1 4 · 1 ( 0 + 0 ) — 4 = = — 1 4 · ( 0 + 0 ) 4 = 0

                      Ответ: lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = 0

                      Выполнить вычисление предела функции lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 .

                      После подстановки получаем

                      lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞

                      Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что

                      lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞ = lim x → 0 cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) — 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 ( x ) — sin 2 ( x ) x 2 sin 2 ( x ) = lim x → 0 x cos x — sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 ( x ) = = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = 2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = = 2 0 · cos ( 0 ) — sin ( 0 ) 0 · sin 2 ( 0 ) = » open=» 0 0

                      Для последнего перехода использовался первый замечательный предел. После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что

                      2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 ( x cos x — sin x ) ‘ ( x sin 2 ( x ) ) ‘ = = 2 lim x → 0 cos x — x sin x — cos x sin 2 ( x ) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0

                      Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида

                      2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 — x ‘ sin ( x ) + 2 x cos x ‘ = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x — 2 x sin x = — 2 · 1 3 · cos ( 0 ) — 2 · 0 · sin ( 0 ) = — 2 3

                      Ответ: lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = — 2 3

                      Вычислить пределы применяя правило лопиталя

                      Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или :

                      Правила Лопиталя

                      Продолжаем разрабатывать тему, которую нам подкинул член Парижской академии наук маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь. Статья приобретает ярко выраженную практическую окраску и в достаточно распространённом задании требуется:

                      Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой . В данном случае :

                      Правила Лопиталя – очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности, не случайно в сборниках задач, на контрольных работах, зачётах часто встречается устойчивый штамп: «вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя». Выделенное жирным шрифтом требование можно с чистой совестью приписать и к любому пределу уроков Пределы. Примеры решений, Замечательные пределы. Методы решения пределов, Замечательные эквивалентности, где встречается неопределённость «ноль на ноль» либо «бесконечность на бесконечность». Даже если задание сформулировано коротко – «вычислить пределы», то негласно подразумевается, что вы будете пользоваться всем, чем угодно, но только не правилами Лопиталя.

                      Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:

                      Аналогичное задание для самостоятельного решения:

                      Как видите, дифференцирование числителя и знаменателя привело нас к ответу с пол оборота: нашли две простые производные, подставили в них «двойку», и оказалось, что неопределённость бесследно исчезла!

                      В свою очередь на огонёк подтягиваются собутыльники и более экзотические товарищи . Метод трансформации прост и стандартен:

                      Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.

                      Сразу оговорюсь, что правила будут приведены в лаконичном «практическом» виде, и если вам предстоит сдавать теорию, рекомендую обратиться к учебнику за более строгими выкладками.

                      6) Применим последнее правило сведения к второй замечательной границы

                      Раскрытие неопределенностей сводится предварительно рассмотренным выше неопределенностей. Если , а при , то применяем преобразование

                      бесконечность или ноль на ноль является применение правила Лопиталя: предел отношения двух

                      В случае трех последних неопределенностей нужно применять преобразования

                      5) Есть неопределенность вида бесконечность на бесконечность .

                      бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных,

                      3) Учитывая неопределенность применяем предыдущее правило

                      Вычисление пределов по правилу Лопиталя

                      Эффективным способом вычисления пределов функций, имеющих особенности типа бесконечность на

                      Решение. 1) Подстановкой устанавливаем что имеем неопределенность вида ноль на ноль . Для избавления от

                      Опять получили неопределенность вида и повторно применяем правило Лопиталя

                      2) Как и в предыдущем примере мы имеем неопределенность . По правилу Лопиталя находим

                      Применение правила Лопиталя показало все возможности при раскрытии неопределенностей.

                      Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке

                      В окрестности точки x0, т.е. на (x0,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x0, х) такая, что

                      Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x0 в том случае, когда производная не существует.

                      Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x0.Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что

                      Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением самой точки x0, причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

                      Вывод: показательная функция (y=a n ) всегда растет быстрее, чем степенная (у=x n ).

                      В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].

                      Определение: Функция называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x1 Posted in Полезные статьи

                      Смотрите еще:

                      • Правила домино 5 Правила игры в домино козёл Научится играть в классическое домино козёл не так уж и сложно, как это может показаться. Всё что нужно сделать так это подробно прочитать правила игры для начинающих что здесь написаны. Инструкция с правилами […]
                      • Работа в израиле с проживанием Портал ISRAland - израильские новости Требуется РАБОТНИК/ЦА ДЛЯ ВЕДЕНИЯ ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА Требуется РАБОТНИК/ЦА ДЛЯ ВЕДЕНИЯ ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА. Хотите заработать 8000-9000 шек. (нетто) в месяц? Не платить за проживание? Семья ищет […]
                      • 2641 ук рф приговор суда Приговор суда по ч. 3 ст. 264 УК РФ. Адвокат на стороне потерпевшего. ПРИГОВОР ИМЕНЕМ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ г. Ивантеевка 4 декабря 2012 года Ивантеевский городской суд Московской области в составе: Председательствующего судьи: ГУРКИНА […]
                      • Работа патент грузчик Грузчик вакансии: работа грузчиком Вакансии грузчиков возглавляют рейтинг рабочих специальностей. Работу в Москве так же ищут по запросам грузчик экспедитор и подработка грузчиком. Город: Москва, сфера: Промышленность, производство, […]
                      • Осаго волгоград с доставкой "Арматела Страхование" +7 937 700 00 00 Все виды страховых услуг для физических и юридических лиц Предлагаем быстро и удобно рассчитать полис ОСАГО на нашем сайте. Полностью сохраним Вашу скидку за безаварийное вождение. Привезём полис […]
                      • Отмена досрочной пенсии силуанов Отмена пенсии работающим пенсионерам Работающие пенсионеры имеют право на получение заслуженных пенсионных выплат. А отмена пенсии данной категории лиц, по сути, противоправное действие со стороны государства. Несмотря на это, […]
                      • Стаж работы по списку 1 и 2 Льготная пенсия по вредности в 2018 году Общая информация Граждане, которым положена льготная пенсия по вредности, обязательно должны отработать не менее 10 лет в опасных и вредных условиях. В случае если стажа не хватает, выход на […]
                      • Штрафы гибдд узнать по фамилии владикавказ Узнать штрафы гибдд по фамилии самара Наш сервис предоставляет услуги по проверке Узнать штрафы гибдд по фамилии самара неоплаченных штрафов ГИБДД. Не можем сразу понять как Узнать гибдд штрафы узнать без регистрации штрафы гибдд по […]