Выражения с корнями правила

Действие с корнями: сложение и вычитание

Извлечение квадрантного корня из числа не единственная операция, которую можно производить с этим математическим явлением. Так же как и обычные числа, квадратные корни складывают и вычитают.

Правила сложения и вычитания квадратных корней

Такие действия, как сложение и вычитание квадратного корня, возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.

Можно сложить или вычесть выражения 2 3 и 6 3 , но не 5 6 и 9 4 . Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте.

Действия с корнями: основы

6 50 — 2 8 + 5 12

  1. Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).
  2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
  3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
  4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления.

Давайте попробуем решить данный пример:

6 50 = 6 ( 25 × 2 ) = ( 6 × 5 ) 2 = 30 2 . Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 30 2 .

2 8 = 2 ( 4 × 2 ) = ( 2 × 2 ) 2 = 4 2 . Сперва необходимо разложить 8 на 2 мнодителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (мнодитель у корня) и получить 4 2 .

5 12 = 5 ( 4 × 3 ) = ( 5 × 2 ) 3 = 10 3 . Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 10 3 .

Результат упрощения: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = ( 30 — 4 ) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере. А сейчас попрактикуемся на других примерах.

  • Упрощаем ( 45 ) . Раскладываем 45 на множители: ( 45 ) = ( 9 × 5 ) ;
  • Выносим 3 из-под корня ( 9 = 3 ) : 45 = 3 5 ;
  • Складываем множители у корней: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
  • Упрощаем 6 40 . Раскладываем 40 на множители: 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) ;
  • Выносим 2 из-под корня ( 4 = 2 ) : 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) = ( 6 × 2 ) 10 ;
  • Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: 12 10 ;
  • Записываем выражение в упрощенном виде: 12 10 — 3 10 + 5 ;
  • Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: ( 12 — 3 ) 10 = 9 10 + 5 .
  • Как мы видим, упростить подкоренные числа не представляется возможным, поэтому ищем в примере члены с одинаковыми подкоренными числами, проводим математические действия (складываем, вычитаем и т.д.) и записываем результат:

    ( 9 — 4 ) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

    Советы:

  • Перед тем, как складывать или вычитать, необходимо обязательно упростить (если это возможно) подкоренные выражения.
  • Складывать и вычитать корни с разными подкоренными выражениями строго воспрещается.
  • Не следует суммировать или вычитать целое число или корень: 3 + ( 2 x ) 1 / 2 .
  • При выполнении действий с дробями, необходимо найти число, которое делится нацело на каждый знаменатель, потом привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители, а знаменатели оставить без изменений.
  • Умножение корней: основные правила

    Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

    Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

    Вы ведь тоже ещё не вкурили?

    Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

  • Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
  • Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.
  • Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

    Основное правило умножения

    Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt$ и $\sqrt$. Для них всё вообще очевидно:

    Правило умножения . Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

    Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

    Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

    Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt<32>$ и $\sqrt<2>$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу.

    Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

    Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

    Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

    И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

    Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

    Случай произвольного показателя

    Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

    Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

    В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

    Примеры. Вычислить произведения:

    И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

    Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:

    Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

    Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

    При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

    Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

    Умножение корней с разными показателями

    Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt<2>$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt[7]<23>$? Можно ли вообще это делать?

    Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

    Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.

    А пока рассмотрим парочку примеров:

    Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)

    Умножать корни несложно

    Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?

    Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:

    Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).

    Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)

    %» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)

    Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.

    Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:

    Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:

    Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:

    Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:

    Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:

    Но тогда получается какая-то хрень:

    Этого не может быть, потому что $\sqrt[3] <-5>\lt 0$, а $\sqrt[3] <5>\gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

  • Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
  • Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.
  • В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

    Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

    Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

    Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

    Пример. В числе $\sqrt[3]<-5>$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:

    Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)

    Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:

  • Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
  • Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p]=\sqrt[n\cdot p]<<^

    >\cdot <^>>\].

  • 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)
  • Ну что? Потренируемся?

    Пример 1. Упростите выражение:

    Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

    Пример 2. Упростите выражение:

    Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.

    Пример 3. Упростите выражение:

    Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:

  • Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
  • В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.
  • Например, можно было поступить так:

    По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.

    На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt<5>\cdot \sqrt[4]<3>$. Теперь его можно расписать намного проще:

    Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

    Квадратный корень. Начальный уровень.

    Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

    1. Введение понятия арифметического квадратного корня

    Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
    .

    Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным

    2. Таблица квадратов

    3. Свойства арифметического квадратного корня

    Введение понятия арифметического квадратного корня

    Давай попробуем разобраться, что это за понятие такое «корень» и «с чем его едят». Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).

    К примеру, перед нами уравнение . Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом ? Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: и (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)! Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ .

    Дадим определение арифметическому квадратному корню.

    А почему же число должно быть обязательно неотрицательным? Например, чему равен ? Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: , а не . Может, ? Опять же, проверяем: . Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

    Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ». А в самом начале мы разбирали пример , подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом , ответом были и , а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»! Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа. К примеру, не равносильно выражению .

    А из следует, что .

    Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше квадратное уравнение подходит как , так и .

    Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

    А теперь попробуй решить такое уравнение . Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

    Начнем с самого начала – с нуля: – не подходит, двигаемся дальше ; – меньше трех, тоже отметаем, а что если ? Проверим: – тоже не подходит, т.к. это больше трех. С отрицательными числами получится такая же история. И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал? Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между и , а также между и . Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше? Давай построим график функции и отметим на нем решения.

    Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из , делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что Такое число никогда не кончается. Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. и уже сами по себе ответы. Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.
    Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной км, сколько км тебе предстоит пройти?

    Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: . Таким образом, . Так чему же здесь равно искомое расстояние? Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что . Корень из двух приблизительно равен , но, как мы заметили раньше, -уже является полноценным ответом.

    Извлечение корней

    Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от до , а также уметь их распознавать.

    То есть, тебе необходимо знать, что в квадрате равно , а также, наоборот, что – это в квадрате. Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

    Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.
    Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

    Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

    Свойства арифметического квадратного корня

    Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

    • умножение;
    • деление;
    • возведение в степень.
    • Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

      Как упростить подкоренное выражение

      Подкоренное выражение – это алгебраическое выражение, которое находится под знаком корня (квадратного, кубического или более высокого порядка). Иногда значения разных выражений могут быть одинаковыми, например, 1/(√2 — 1) = √2 + 1. Упрощение подкоренного выражения призвано привести его к некоторой канонической форме записи. Если два выражения, которые записаны в канонической форме, по-прежнему различны, их значения не равны. В математике считается, что каноническая форма записи подкоренных выражений (а также выражений с корнями) соответствует следующим правилам:

    • Если можно, избавьтесь от дроби под знаком корня
    • Избавьтесь от выражения с дробным показателем
    • Если можно, избавьтесь от корней в знаменателе
    • Избавьтесь от операции умножения корня на корень
    • Под знаком корня нужно оставить только те члены, из которых нельзя извлечь целочисленный корень
    • Эти правила можно применить к выполнению тестовых заданий. Например, если вы решили задачу, но результат не совпадает ни с одним из приведенных ответов, запишите результат в канонической форме. Имейте в виду, что ответы к тестовым заданиям даются в канонической форме, поэтому если записать результат в той же форме, вы с легкостью определите правильный ответ. Если в задаче требуется «упростить ответ» или «упростить подкоренные выражения», необходимо записать результат в канонической форме. Более того, каноническая форма упрощает решение уравнений, хотя с некоторыми уравнениями легче справиться, если на время забыть о канонической форме записи.

      Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

      Разделы: Математика

      Тип урока: урок изучения нового материала.

      Цель урока: систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся в приведении подобных слагаемых выражений, содержащих квадратные корни. Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, делать выводы. Побуждать учеников к взаимоконтролю.

      Оборудование: карточки с числами, проектор, презентация.

    • Организация начала занятия. Постановка цели. Повторение пройденного материала.
    • Устные упражнения. Получи картинку.
    • Историческая справка.
    • Изучение нового материала.
    • Самостоятельная работа с взаимоконтролем.
    • Подведение итогов.
    • Домашнее задание.
    • Рефлексия.
    • I. Организация начала занятия. Сообщение темы и постановка цели.

      Учитель. Если мы откроем Большой Энциклопедический словарь, то сможем прочитать, что обозначает слово “преобразование”. Итак, “Преобразование – замена одного математического объекта аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам”.

      В Толковом словаре С. И. Ожегова читаем: “Преобразовать – … совершенно переделать, превратить из одного вида в другой, изменить к лучшему”.

      Цель математических преобразований – приведения выражения к виду более удобному для численных расчетов или дальнейших преобразований.

      До сих пор мы с вами выполняли преобразования только рациональных выражений, используя для этого правила действий над многочленами. Несколько уроков назад мы ввели новую операцию – операцию извлечения квадратного корня.

      Повторим основные сведения об арифметическом квадратном корне.

      Приготовьте карточки с номерами 1, 2, 3 для устных упражнений. Для ответа поднимаем карточку с номером верного утверждения.

      ? Арифметическим квадратным корнем из числа a называется :

      1) Число, квадрат которого равен a.
      2) Число, равное a.
      3) Неотрицательное число, квадрат которого равен a.

      „ Чтобы внести множитель под знак корня, надо:

      1) Перемножить подкоренные выражения;
      2) Возвести множитель в квадрат;
      3) Квадрат множителя записать под корень.

      … Чтобы вынести множитель за знак корня, надо:

      1) Представить подкоренное выражение в виде произведения нескольких
      множителей;
      2) Применить правило квадратный корень из произведения неотрицательных
      множителей.

      II. Получи картинку.

      Решите примеры и закрасьте клеточку с правильным ответом. Если все правильно выполнено, то получится картинка. Приложение 1.

      Ответ: знак квадратного корня. Приложение 2.

      III. Историческая справка.

      Знак квадратного корня был введен практической необходимостью. Зная площадь, наши предки в 16 веке пытались вычислять сторону квадрата. Так появилась операция извлечения квадратного корня. Но современная форма знака определилась не сразу.
      Начиная с 13 века итальянские и многие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно Rx. В 15 веке писали R 2 12 вместо . В 16 веке писали V ‚ вместо Ö . Нидерландский математик А. Жирар ввел близкое к современному обозначение корня.
      Лишь в 1637 году французский математик Рене Декарт применил в своей “Геометрии” современный знак корня. Этот знак вошел во всеобщее употребление лишь в начале 18 века.

      Действия с корнями

      2.Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения:

      3.Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей:

      Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений:

      4.Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми):

      5.Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

      Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени:

      Рассчитать тригонометрические и другие формулы вы можете на нашем инженерном калькуляторе онлайн

      Выражения с корнями правила

      Вычислите значение выражения

      Пояснение.
      Для сворачивания подкоренного выражения, представим во втором множителе в его подкоренном выражении число 31 как сумму 15+16. (строка 2)

      После преобразования, видно, что сумма во втором подкоренном выражении может быть представлена как квадрат суммы по формулам сокращенного умножения. (строка 3)

      Теперь представим каждый корень из данного произведения как степень. (строка 4)

      Упростим выражение (строка 5)

      Поскольку степень произведения равна произведению степеней каждого из множителей, представим это соответствующим образом (строка 6)

      Как видно, по формулам сокращенного умножения имеем разность квадратов двух чисел. Откуда и вычислим значение выражения (строка 7)

      Вычислите значение выражения.

      Решение.

      Пояснение.

      Используем свойства корня, что корень произвольной степени частного чисел равен частному корней этих чисел (строка 2)

      Корень произвольной степени числа этой же степени равен этому числу (строка 3)

      Вынесем из скобки первого множителя минус. При этом все знаки внутри скобки поменяются на противоположные (строка 4)

      Выполним сокращение дроби (строка 5)

      Представим число 729 как квадрат числа 27, а число 27 как куб числа 3. Откуда и получим значение подкоренного выражения.

      Смотрите еще:

      • Признаки делимости правило Признаки делимости правило Пример. 7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25. Признаки делимости на 10, 100 и 1000. На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 - только те числа, у которых две […]
      • Болгария закон о собственности Болгария закон о собственности Глава вторая. УПРАВЛЕНИЕ ЭТАЖНОЙ СОБСТВЕННОСТИ . Раздел І. Основные положения Рамки управления Статья 8. (1) Управление в режиме этажной собственности охватывает установление порядка и контроль над […]
      • Вопросы связанные с исполнением приговора разрешаются судом по Статья 396. Суды, разрешающие вопросы, связанные с исполнением приговора Федеральным законом от 8 декабря 2003 г. N 161-ФЗ в статью 396 настоящего Кодекса внесены изменения Статья 396. Суды, разрешающие вопросы, связанные с исполнением […]
      • Налоги и их виды рк Налоги и их виды рк Основные виды налогов в РК (краткая характеристика каждому налогу: ставки, объекты, плательщики и др.). Особенности налогового режима в РК. Государственные и местные. В данное время на территории РК действуют 9 видов […]
      • Правила использования сертификата Обсуждения Условия и правила использования подарочных сертификатов. 1 сообщение Срок действия подарочного сертификата проводимой акции – один месяц с даты начала проведения акции, указанной на сертификате с оборотной стороны. Виды […]
      • Налог 6 и 8 процентов Условия применения УСН 6 процентов (6%) в 2017 году Организация/предприниматель имеет право выбрать УСН, если подпадает под условия: по выручке, численному штату, присутствию в его деятельности и финансировании сторонних фирм, т.д. […]
      • Разгадай правило по которому звуки объединены в группы продолжи запись Дидактический материал Дидактический материал ННОУ «Троицкая Православная школа» Дидактический материал (карточки) по математике Учитель начальных классов г. Троицка Харламова Оксана Викторовна 5 + 1 6 + 1 7 + 1 6 – 1 5 – 1 4 – […]
      • Правило деления числа на 6 Признак делимости на 3, примеры, доказательство. Серию статей о признаках делимости продолжает признак делимости на 3. В этой статье сначала дана формулировка признака делимости на 3 , и приведены примеры применения этого признака при […]