Показательный закон график

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение. Показательным (экспоненциальным)называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

где l — положительное число.

Найдем закон распределения.

Графики функции распределения и плотности распределения:

f(x) F(x)

Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.

Результат получен с использованием того факта, что

Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х 2 ).

Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:

Тогда

Итого:

Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.

Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.

Показательное распределение широко используется в теории надежности.

Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент времени t0=0, а через какое– то время t происходит отказ устройства.

Обозначим Т непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы устройства.

Таким образом, функция распределения F(t) = P(T t) = 1 – F(t).

Определение. Функцией надежностиR(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t.

Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению.

Вообще говоря, если рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать.

Другими словами, можно сказать, что функционирование устройства на протяжении всего существования (в смысле количества отказов) можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения.

Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна:

Данное соотношение называют показательным законом надежности.

Важным свойством, позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t.

Таким образом, безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов l и не зависит от безотказной работы устройства в прошлом.

Так как подобным свойством обладает только показательный закон распределения, то этот факт позволяет определить, является ли закон распределения случайной величины показательным или нет.

Дата добавления: 2016-06-22 ; просмотров: 6050 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Основные законы распределения

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

Репетитор: Крюков Илья Хассанович

Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

Стоимость: 1600 руб / 60 мин.

Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

Стоимость: 1200 руб / 60 мин.

Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

Репетитор: Тверской Василий Борисович

Предметы: математика, физика.

Стоимость: 3500 руб / 90 мин.

Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

Стоимость: 2000 руб / 60 мин.

Репетитор: Ершикова Марина Львовна

Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

Стоимость: 1500 руб / 60 мин.

1.Биномиальный закон распределения.

Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.

Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей.

В таблице m — число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. Сn m — число сочетаний m телевизоров по n, p — вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q — вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n — вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.

2.Геометрическое распределение.

Геометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

P m — вероятность наступления события А в испытание под номером m.
р — вероятность наступления события А в одном испытании.
q = 1 — p

Пример. В компанию по ремонту бытовой техники поступила партия из 10 запасных блоков для стиральных машин. Бывают случаи, что в партии оказывается 1 блок бракованный. Проводится проверка до обнаружения бракованного блока. Необходимо составить закон распределения числа проверенных блоков. Вероятность того, что блок может оказаться бракованным равна 0,1. Построить полигон распределения вероятностей.

Из таблицы видно, что с увеличением числа m, вероятность того, что будет обнаружен бракованный блок, снижается. Последняя строчка (m=10) объединяет две вероятности: 1 — что десятый блок оказался неисправным — 0,038742049 , 2 — что все проверяемые блоки оказались исправными — 0,34867844. Так как вероятность того, что блок окажется неисправным относительно низкая (р=0,1), то вероятность последнего события P m (10 проверенных блоков) относительно высокая. Рис.2.

3.Гипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

Например, составить закон распределения 7-ми угаданных чисел из 49. В данном примере всего чисел N=49, изъяли n=7 чисел, M — всего чисел, которые обладают заданным свойством, т.е. правильно угаданных чисел, m — число правильно угаданных чисел среди изъятых.

Из таблицы видно, что вероятность угадывания одного числа m=1 выше, чем при m=0. Однако затем вероятность начинает быстро снижаться. Таким образом, вероятность угадывания 4-х чисел уже составляет менее 0,005, а 5-ти ничтожно мала.

4.Закон распределения Пуассона.

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если закон ее распределения имеет вид:

λ = np = const
n — число испытаний, стремящиеся к бесконечности
p — вероятность наступления события, стремящаяся к нулю
m — число появлений события А

Например, в среднем за день в компанию по продаже телевизоров поступает около 100 звонков. Вероятность заказа телевизора марки А равна 0,08; B — 0,06 и C — 0,04. Составить закон распределения заказов на покупку телевизоров марок А,В и С. Построить полигон распределения вероятностей.

Из условия имеем: m=100, λ 1 =8, λ 2 =6, λ 3 =4 ( ≤10 )

(таблица дана не полностью)

Если n достаточно большое и стремится к бесконечности, а значение p стремится к нулю, так что произведение np стремится к постоянному числу, то данный закон является приближением к биномиальному закону распределения. Из графика видно, что чем больше вероятность р, тем ближе кривая расположена к оси m, т.е. более пологая. (Рис.4)

Необходимо отметить, что биномиальный, геометрический, гипергеометрический и закон распределения Пуассона выражают распределение вероятностей дискретной случайной величины.

5.Равномерный закон распределения.

Если плотность вероятности ϕ(х) есть величина постоянная на определенном промежутке [a,b], то закон распределения называется равномерным. На рис.5 изображены графики функции распределения вероятностей и плотность вероятности равномерного закона распределения.

6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Среди законов распределения непрерывных случайных величин наиболее распрастраненным является нормальный закон распределения. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

где
а — математическое ожидание случайной величины
σ — среднее квадратическое отклонение

График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, симметричен относительно прямой х=а, т.е х равному математическому ожиданию. Таким образом, если х=а, то кривая имеет максимум равный:

При изменении величины математического ожидания кривая будет смещаться вдоль оси Ох. На графике (Рис.6) видно, что при х=3 кривая имеет максимум, т.к. математическое ожидание равно 3. Если математическое ожидание примет другое значение, например а=6, то кривая будет иметь максимум при х=6. Говоря о среднем квадратическом отклонении, как можно увидеть из графика, чем больше среднее квадратическое отклонение, тем меньше максимальное значение плотности вероятности случайной величины.

Функция, которая выражает распределение случайной величины на интервале (-∞,х), и имеющая нормальный закон распределения, выражается через функцию Лапласа по следующей формуле:

Т.е. вероятность случайной величины Х состоит из двух частей: вероятности где x принимает значения от минус бесконечности до а, равная 0,5 и вторая часть — от а до х. (Рис.7)

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром l > 0, если её плотность вероятности w(x) имеет вид:

Кривая распределения (график плотности вероятности) w(x) случайной величины X:

График функции распределения F(x) случайной величины X:

Функция распределения случайной величины X, распределённой по показательному (экспоненциальному) закону, есть

Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по показательному (экспоненциальному) закону :

Дисперсия случайной величины X, распределённой по показательному (экспоненциальному) закону:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределённой по показательному (экспоненциальному) закону:

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надёжности. Так, например, интервал времени T между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром l — интенсивностью потока. Время безотказной работы («время жизни») некоторой машины при некоторых допущениях подчиняется показательному закону.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения;

Показательное распределение является частным случаем распределения Эрланга при k = 0.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной вели­чины X. которое описывается плотностью

где λ – постоянная положительная величина.

Из выражения (3.1), следует, чтопоказательное распределение определяется одним параметром λ.

Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от боль­шего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значе­ния) разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной вели­чины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последователь­ных событий простейшего потока.

Найдем функцию распределения показательного закона.

Итак

Графики плотности и функции распределения показа­тельного закона изображены на рис. 3.1.

Рис.3.1.Графики плотности и функции распределения показательного закона

Найдем вероятность попадания в интервал (а, b) непрерывной случайной величины X, которая распреде­лена по показательному закону, заданному функцией распределения

Используем известную формулу вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, а именно:

Учитывая, что получим:

(3.3)

Значения функции можно находить по таблице.

Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная случайная величина Χ рас­пределена по показательному закону

Найдем математическое ожидание, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

Интегрируя по частям, получим

Таким образом, математическое ожидание показатель­ного распределения равно обратной величине параметра λ.

Найдем дисперсию, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

Интегрируя по частям, получим

Следовательно:

Найдем среднее квадратическое отклонение, для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:

Сравнивая (3.4), (3.5) и (3.6), видно, что

(3.7)

т. е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Показательное распределение широко применяетсяв различных приложениях финансовых и технических задач, например, в теории надежности.

4. Распределение «хи-квадрат» и распределение Стьюдента.

4.1 Распределение «хи-квадрат» (— распределение)

Пусть Χi (ί = 1, 2, . n)—нормальные незави­симые случайные величины, причем математическое ожи­даниекаждой из нихравно нулю, а среднее квадратическое отклонениеединице.

Тогдасумма квадратов этих величин

распределена по закону с степенями свободы, если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы

Распределение хи-квадрат нашло широкое применение в математической статистике.

Плотность этого распределения

где — гамма-функция, в частности .

Отсюда видно, чтораспределение хи-квадрат опре­деляется одним параметромчислом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободыраспределение хи-квадрат медленно приближается к нормальному.

Хи-квадрат распределение получается, если в законе распределения Эрланга принять λ= ½ и k = n/2 – 1.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение, определяются простыми формулами, которые приведем без вывода:

(4.2)

Из формулы следует, что при хи-квадрат распределение совпадает с экспоненциальным распределением при λ= ½ .

Интегральная функция распределения при хи-квадрат распределенииопределяетсячерез специальные неполные табулированные гамма-функции

Применение системы уравнений (4.3), использующей табулированные (табличные) неполные гамма-функции, позволяет определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, имеющей хи-квадрат распределение.

Рис.4.1. а)Графики плотности вероятности при хи-квадрат распределении

Рис.4.1. б)Графики функции распределения при хи-квадрат распределении

4.2 Распределение Стьюдента

Пусть Z – нормальная случайная величина, причём

а V – независимая от Z величина, которая распределена по закону хи-квадрат с k степенями свободы.Тогда величина:

имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета),

с k = n — 1 степенями свободы (n— объём статистической выборки при решении задач статистки).

Итак, отношение нормированной нормальной величинык квадратному корню из независимой случайной вели­чины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степе­нями свободы, деленной на k,распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента:

Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью

, (3)

где – постоянная положительная величина. График плотности показательного распределения представлен на рис. 5, а.

Функция распределения показательного закона

. (4)

График функции распределения представлен на рис. 10,б.

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины , распределенной по показательному закону

.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Заметим, что вероятность того, что непрерывная случайная величина , распределенная по показательному закону, попадет в интервал

.

Рис. 5. а) график плотности показательного закона;

б) график функции распределения показательного закона

Заметим, что если изучается показательно распределенная случайная величина, причем параметр неизвестен и математическое ожидание также неизвестно, то находят приближенное значение параметра по формуле , где – выборочная средняя.

Дата добавления: 2014-12-06 ; просмотров: 471 . Нарушение авторских прав

Теоретический материал по модулям «Теория вероятности и математическая статистика»

1.12.6. Экспоненциальное (показательное) распределение

Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону спараметром . Если ее плотность распределения вероятностей задается формулой:

(1.12.12)

Функция распределения показательного закона:

(1.12.13)

Типичные примеры, где реализуется экспоненциальное распределение – теория обслуживания, при этом X — например, время ожидания при техническом обслуживании, и теория надежности, здесь X — например, срок службы радиоэлектронной аппаратуры.

Показательное распределение тесно связано с простейшим (пуассоновским) потоком событий (см. п. 1.12.2): интервал времени T между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока:

(t > 0).

Основные характеристики показательного распределения:

(1.12.14)

ПРИМЕР 7. Время безотказной работы ЭВМ – случайная величина T , имеющая показательное распределение с параметром l = 5 (физический смысл величины l — среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев ЭВМ для ремонта). Известно, что ЭВМ уже проработала без отказов время t. Найти при этих условиях плотность и функцию распределения времени, которое проработает ЭВМ после момента t до ближайшего отказа.

Решение. Так как простейший поток отказов не имеет последствия, вероятность появления хотя бы одного отказа на участке от t до t + t не зависит от того, появлялись ли отказы ранее момента t. Следовательно, подставив
l = 5 в соотношение (1.12.12) и в (1.12.13), получим:

.

.

Графики плотности и функции полученного показательного распределения изображены на рис. 1.12.6.

Непрерывная случайная величина

Ранее мы представили примеры решений задач о дискретной случайной величине, теперь переходим к непрерывной. Формально в задачах требуется найти тоже самое: вычислить числовые характеристики, начертить графики, определить неизвестные параметры, найти вероятности событий.

Но формулы-то совсем другие (в силу непрерывности СВ), поэтому стоит разобраться в них хорошенько. Надеемся, наши примеры вам помогут (а если нет времени, закажите решение).

Ниже вы найдете примеры решений на самые разные законы распределений непрерывных случайных величин: законы $\arcsin$ и $\arctan$, тригонометрические и логарифмические функции, показательный, равномерный закон распределения, законы Коши, Симпсона, Лапласа и т.д.

Примеры решений

Задача 1. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения

1) Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал $[\pi, 5/4 \pi]$.
2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Задача 2. Случайная величина X задана плотностью вероятности:

Требуется:
а) найти коэффициент C;
б) найти функцию распределения F(x);
в) найти M(X), D(X), σ(X)
г) найти вероятность P(α -2t при t ≥ 0 и f(t)=0 при t <0.
1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.

Задача 6. Функция распределения вероятностей случайной величины $X$ имеет вид:

А) найти $a$ и $b$;
Б) найти плотность $f(x)$;
В) нарисовать график $F(x)$;
Г) нарисовать график $f(x)$;
Д) найти $M[X]$;
Е) найти $D[X]$.

Задача 7. Функция распределения вероятностей случайной величины $X$ имеет вид: $$F(x)=A+B \arctan (x/2), -\infty \lt x \lt \infty $$ (закон Коши).
А) определить постоянные $A$ и $B$;
Б) найти плотность распределения вероятностей
В) найти $P(-1 \lt X \lt 1)$;
Г) нарисовать график $F(x)$;
Д) нарисовать график $f(x)$.

Задача 8. Случайная величина $X$ имеет распределение Парето с плотностью вероятности $f(x)=4/23(23/x)^5$ при $23 \le x$ и $f(x)=0$ при $x \lt 23$.
Найдите $M(X)$ и $P(23\lt X \lt 27)$.

Задача 9. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией (функцией распределения) $F(x)$. Найти:
А) вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $(a;b)$.
Б) дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) $f(x)$.
В) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины $X$.
Г) построить графики функций $F(x)$ и $f(x)$.

Задача 10. Случайная величина $X$ подчинена закону Лапласа $p(x)=a\cdot e^<-\lambda |x|>$, $\lambda \gt 0.$ Найти $a$, $M(x)$, $D(x)$ и $F(x)$. Построить графики $p(x)$ и $F(x)$.

Задача 11. Случайная величина $X$ задана функцией распределения $F(x)$. Найти:
5) дифференциальную функцию $f(x)$ (плотность распределения),
6) математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$, среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$.
7) Моду $Mo$ и медиану $Me$,
8) $P(1/2 \lt X \lt 2).$
Построить графики функции и плотности распределения.

Задача 12. Случайная величина $Х$ подчинена закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) на участке от $-a$ до $+a$.
а) Написать выражение для плотности распределения.
б) Построить график функции распределения.
в) Определить числовые характеристики случайной величины Х.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Смотрите еще:

  • Точка движется прямолинейно по закону s t 2t 2 Точка движется прямолинейно по закону x(t)=4t^2-15t^4.Найдите формулу вычисления скорости в любой момент времени.Вычислите скорость и ускорение при t=2(время измеряется в секундах.координата -в метрах). P.S. Почему скорость и ускорение […]
  • Составьте закон распределения числа попаданий Испытания по схеме Бернулли Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для построения биноминальным ряда распределения и вычисления всех характеристик ряда: математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. […]
  • Штрафы по фамилии пенза Штраф гибдд узнать пенза Удобно и быстро 17 Во время буксировки тут уж безысходность у человека онлайн в Карабулаке Узнать Штраф гибдд узнать пенза задолженность расслабляться раньше времени давайте проверим себя во Штраф гибдд узнать […]
  • Штрафы гибдд по гос номеру нижнекамск Проверка штрафов по гос номеру нижнекамск Субъектом рассматриваемого правонарушения является перевозчик или уполномоченный экономический оператор. Правилам чистота автомобиля законом не оговорена, нужен читаемый номерной знак и все. […]
  • Кто правил в 1842 году Николай Первый Николай I Романов Годы жизни: 1796–1855 Российский император (1825–1855 гг.). Царь Польский и великий князь Финляндский. Из династии Романовых. Третий сын императора Павла I и Марии Федоровны, дочери прусского принца […]
  • Виды режимов имущества супругов брачный договор раздел имущества Законный и договорной режим имущества супругов Рассмотрим все вопросы, касающиеся законного и договорного имущества супругов. Знакомство с данным материалом внесет полную ясность в понимание как сути этих режимов, так и применения их на […]
  • Закон вина устанавливает связь между Законы лучистого теплообмена Закон Планка устанавливает зависимость между спектральной интенсивностью излучения абсолютно черного тела и абсолютной температурой тела. Под спектральной интенсивностью излучения (интенсивностью излучения) […]
  • Закон ома для полной сети III. Основы электродинамики Тестирование онлайн Закон Ома для замкнутой цепи Замкнутая (полная) электрическая цепь состоит из источника тока и сопротивления. Источник тока имеет ЭДС () и сопротивление (r), которое называют внутренним. […]