Закон сохранение инерции
Задачи по теме: «Момент инерции. Закон сохранения момента инерции и момента импульса»
Главная > Документ
Задачи по теме: «Момент инерции. Закон сохранения момента инерции и момента импульса».
На барабан радиусом R=0,5 м и с горизонтальной осью вращения намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что его угловое ускорение равно 
. Тернием пренебречь.
m = 10 кг 
Вращение барабана происходит под
= ∆ω/∆t = ∆υ/R∆t = a/R → a = εR
M = Fd = FR – момент силы вращающей барабан.
По закону сохранения момента сил
J = (m ( g – εR) R)/ ε = 22,5 (кг м²)
К ободу однородного диска радиусом R=0,2м массой m=1,2 кг приложена постоянная сила 100 Н, при вращении на диск действует момент силы трения, равный 5 нм. Чему равно угловое ускорение диска?
F = 100 Н Сила действующая на обод F`= F — Fтр. Из M = 5 нм момента силы трения Fтр = M\R = 25 Н
Шарик, диаметр которого равен 6 см, катится по полу и останавливается через t = 2с, пройдя расстояние S = 70 см. Определите коэффициент трения качения, считая его постоянным.
d = 0, 06 м М=εJ — основное уравнение вращательного движения.
S= 0,7м. 
Момент силы трения M = Fтр r
S= at 2 /2 
a=2S/t 2 = 1,4/4 = 0,35 м/с 2
L1 = J1ω1 — момент импульса в первом состоянии.
L2 = J2ω2 — момент импульса во втором состоянии.
L1 = L2 — закон сохранения момента импульса.
Ответ: 
M3 = 6·10 24 кг L = Jω J= 0,4 M3R3²- момент инерции шара.
R3 = 6,4·10 6 м ω = υ/ R
υ = 10 м\с L = 0,4 M3 υ R3= 15,36·10³º кг м²/с.
R1 = 35, 2 а. е. 
момент импульса при наибольшем
R2 = 0, 6 а. е. удалении.
момент инерции кометы при наибольшем
момент импульса кометы при
Ответ: 
Человек стоит на вращающейся с некоторой угловой скоростью платформе. В вытянутых в сторону руках он держит по гире, массой каждой из них m = 5 кг. Расстояние от гирь до оси вращения R1=0,71м. Во сколько раз изменится частота вращения человека, если он прижмет к себе руки так, что расстояние от оси вращения до гири станет R2= 0,2 м. Момент инерции человека считайте в обоих случаях равным J0 = 1 кг м.²
m = 5 кг Момент импульса в первом случае
R1=0,71м 
R2= 0,2 м 
момент инерции в первом случае.
J0 = 1 кг м² 
момент инерции во втором случае.
закон сохранения момента импульса.
Ответ: 
Человек массой m1 = 60 кг находится на неподвижной круглой платформе радиусом R2= 10м и массой m2 = 120 кг, которая может вращаться вокруг своей вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек станет двигаться по окружности радиусом R1= 5м с линейной скоростью υ1= 2 м/с относительно платформы.
m1 = 60 кг момент импульса человека;
R2= 10м 
момент инерции человека.
m2 = 120 кг 
R1= 5м 
υ1= 2 м/с 
момент импульса платформы
закон сохранения импульса.
Считая Солнце однородным шаром, оцените минимальный радиус и период вращения вокруг своей оси пульсара, который мог бы образоваться после сжатия Солнца под действием силы тяготения при исчерпании внутренних источников энергии, поддерживающих высокую температуру газа. Радиус Солнца Rc = 7·10 8 м, период вращения вокруг оси Тс = 2,2·10 6 с. Масса Солнца Мс = 2·10³º кг.
Rc = 7·10 8 м Момент импульса Солнца
Тс = 2,2·10 6 с 
Мс = 2·10³º кг 
момент инерции Солнца
Rп = ? Тп = ? 
По закону сохранения импульса
Для удобства расчета (*) возведем в квадрат
Ответ: Rп =
13. Закон сохранения полной механической энергии.
Закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем: 
Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами.
Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.
Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени.
Существует еще один вид систем — диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии.
В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной. Могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах так, что полная энергия остается неизменной.
Этот закон не есть просто закон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий и качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга.
Закон сохранения и превращения энергии — фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.
В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например, силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида.
14. Момент инерции твердого тела. Момент импульса. Теорема Штейнера.
Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстоянии до рассматриваемой оси: 
Суммирование производится по всем элементарным массам m, на которые разбивается тело.
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу: 
где интегрирование производится по всему объему тела.
Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z. Момент инерции — величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:
момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jс относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями: 
Примеры моментов инерции некоторых тел (тела считаются однородными, m — масса тела):
Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:
где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А;
р = mv — импульс материальной точки;
L — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .
Модуль вектора момента импульса:
где а — угол между векторами r и р;
l — плечо вектора р относительно точки О.
Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r, с некоторой скоростью Vi. Скорость Vi и импульс mV перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора 
. Поэтому момент импульса отдельной частицы равен:
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:
Используя формулу 
получим, что момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость:
1 семестр ЭКТ / Задачи по теме «Момент инерции. Закон сохранения момента
На барабан радиусом R=0,5 м и с горизонтальной осью вращения намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что его угловое ускорение равно 
. Тернием пренебречь.
m = 10 кг 
действием силы F. Из второго закона Ньютона
= ∆ω/∆t = ∆υ/R∆t = a/R → a = εR
M = Jε – момент силы через момент инерции для вращающегося тела.
R = 0, 2 м Из оснавного управления динамики вращательного
m = 1, 2 кг движения M=Jε
ε = ? Момент силы F`- M=F`R по закону сохранения
J = mR² –момент инерции обруча
t = 2c J= 0,4mr 2 — момент инерции шара.
S= 0,7м. 
M= 0,4 m r 2 a/ r= 0,4 a m r
S= at 2 /2 
a=2S/t 2 = 1,4/4 = 0,35 м/с 2
Во сколько раз уменьшится угловая скорость вращения человека, если момент инерции изменится от 1 кг м² до 1,25 кг м²?
L1 = J1ω1 — момент импульса в первом состоянии.
L2 = J2ω2 — момент импульса во втором состоянии.
L1 = L2 — закон сохранения момента импульса.
Ответ: 
Найти момент импульса Земного шара М3 = 6·10 24 кг, R3 = 6,4·10³ км, если точки поверхности Земли вращаются со скоростью 36 км/ ч.
Ответ: L = 15, 36·10³º кг м²/с
Комета Галлея движется вокруг солнца по вытянутому эллипсу. Наибольшее удаление от солнца равно 35,2 а. е., а наименьшее удаление — 0,6 а.е.. Найти отношение максимальной скорости кометы к минимальной.
R1 = 35, 2 а. е. 
момент импульса при наибольшем
момент инерции кометы при наибольшем
момент импульса кометы при
L1 = L2 – закон сохранения момента импульса.
Ответ: 
R1=0,71м 
R2= 0,2 м 
момент инерции в первом случае.
J0 = 1 кг м² 
момент инерции во втором случае.
закон сохранения момента импульса.
Ответ: 
m1 = 60 кг 
момент импульса человека;
R2= 10м 
момент инерции человека.
m2 = 120 кг 
R1= 5м 
υ1= 2 м/с 
момент импульса платформы
закон сохранения импульса.
Тс = 2,2·10 6 с 
Мс = 2·10³º кг 
момент инерции Солнца
Rп = ? Тп = ? 
Момент импульса образовавшегося пульсара
Вращение пульсара происходит под действием силы тяготения.
Ответ: Rп =
Закон сохранение инерции
Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко
Лабораторные работы по курсу общей физики
раздел 1: МЕХАНИКА
Лабораторная работа №1.08
Тема: ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ГИРОСКОПА.
Кафедра ОФ и МПФ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.08
Цель работы: Изучение движения гироскопа, вращающегося вокруг горизонтальной оси в поле силы тяжести.
Приборы и принадлежности: Установка, состоящая из гироскопа, насаженного на вертикальную ось и дополнительные грузы массой в100 и 200г. Установка снабжена электросекундомером и измерителем угла поворота.
КРАТКАЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА
А.Согласно определению момент импульса твёрдого тела равен: =. Для симметричного тела, вращающегося вокруг оси симметрии, проходящей через центр масс эта формула преобразуется к виду: , где момент инерции тела, -угловая скорость вращения. Такое тело называют гироскопом или волчком. Если гироскоп находится во внешнем гравитационном поле, то на него действует ещё момент силы
В этом случае необходимо применить основной закон динамики для вращающегося твёрдого тела: (2),
где — момент силы тяжести гироскопа относительно его точки опоры О. Рассмотрим два частных случая: 1) ось гироскопа вертикальна (параллельна вектору ускорения свободного падения ) и 2) ось гироскопа составляет угол c направлением вектора . Рассмотрим первый случай (рис.1). Угол между вектором и равен (ось гироскопа вертикальна) и. Следовательно . В этом случае . Тогда направление оси вращения и угловой скорости (в отсутствии сил трения) остаются постоянными. При наличии сил трения гироскоп со временем потеряет кинетическую энергию вращения и опрокинется. Рассмотрим второй случай: когда угол острый (рис.2). Тогда на гироскоп действует опрокидывающий момент , модуль которого равен (рис.2) Действующий момент стремится опрокинуть гироскоп. По правилу буравчика он направлен от нас за чертёж. Как показывает опыт, ось гироскопа начинает прецессировать вокруг вертикальной оси с угловой скоростью и не опрокидывается. Если прецессию оси гироскопа остановить, то гироскоп упадёт. Таким образом, прецессия оси гироскопа связана с появлением восстанавлюющего момента, который противоположен опрокидующему моменту. Эти два момента равны по абсолютной величине и противоположны по направлению. Этим объясняется то, что гироскоп, несмотря на наклонное положение своей оси, не опрокидывается.
(3) Исходя из равенства моментов, следует равенство их модулей:
В. Рассмотрим случай горизонтального гироскопа, вращающегося в подшипниках А и В
Момент импульса гироскопа , где момент инерции. Любая турбина, находящаяся на корабле может служить таким гироскопом. При изменении курса корабля турбина целиком повернётся вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью . Поэтому появится восстанавливающий момент. Этот момент будет стремиться повернуть вектор гироскопа так, чтобы его совместить с вектором . В этом случае на подшипники подействует пара сил и . При больших эта пара сил вполне может разрушить подшипники (рис.3).
где — плечо силы Q.
В данном случае и . Поэтому найдём в скалярном виде:
Давление Q на подшипники зависит от угловой скорости и при резком повороте корабля давление может стать столь большим, что может разрушить подшипники.
Для измерения гироскопических эффектов используется установка FRM-10, оборудованная счетчиком периодов, счетчиком времени и счётчиком угла поворота.
Гироскоп установлен так, что он может вращаться вокруг осей z и у и поворачиваться на небольшие углы вокруг оси х.
Система х, у, z составляет правую систему координат (рис.3 ).
На оси гироскопа находится небольшой груз (m=375г) для горизонтального установления оси гироскопа. На левый рычаг оси гироскопа можно добавлять перегрузки, имеющие массы 100г и 200г. В результате появится дополнительный момент, действующий на гироскоп, что приводит к появлению прецессии гироскопа в горизонтальной плоскости с частотой .
Из условия можно вычислить :
Методика проведения эксперимента
- Уравновесить гироскоп так, чтобы ось гироскопа z была горизонтальна.
- Включить питание электродвигателя.
- Установить число оборотов двигателя 6000об/мин.
- На левое плечо на расстоянии от центра инерции поместить перегрузок массой m=100г.
- Зная , и поставляя в (7) выражение:
5) Нажать кнопку «сброс» и после того как гироскоп повернётся в горизонтальной плоскости на угол примерно 30 0 нажать кнопку «стоп».
6) С помощью линейки измерить расстояние от центра инерции Ц до центра дополнительного груза.
7) Вычислить угловую скорость по показателям приборов времени и прецессии.
определить момент инерции по формуле (8) (опыт сделать 3 раза):
9) Повторить опыт с перегрузком грузом массой 200г три раза при двух угловых скоростях гироскопа (6000 и 5000 об/мин) и записать данные в таблицу.
Законы сохранения в механике (формулы)
Сила и импульс:
Закон сохранения импульса:
Реактивная сила тяги:
Формула Циолковского:
Механическая работа:
Мощность:
Кинетическая энергия:
Теорема о кинетической энергии:
Потенциальная энергия:
Закон сохранения энергии в механических процессах:
Потеря механической энергии при неупругом соударении:
Уравнение Бернулли:
Формула Торричелли:
Центр масс твердого тела:
Момент инерции твердого тела:
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела:
Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении:
Теорема Штейнера:
Момент импульса твердого тела:
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела:
Закон сохранения момента импульса: